關(guān)于勾股定理的教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)
一、知識(shí)與技能1．掌握直角三角形的判別條件．2．熟記一些勾股數(shù)．3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
二、過(guò)程與方法1．用三邊的數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想．2．通過(guò)對(duì)Rt△判別條件的研究，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，勇于探索的創(chuàng)新精神．
三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1．通過(guò)介紹有關(guān)歷史資料，激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的愿望．2．通過(guò)對(duì)勾股定理逆定理的探究；培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和創(chuàng)新精神．
教學(xué)重點(diǎn)探究勾股定理的逆定理，理解互逆命題，原命題、逆命題的有關(guān)概念及關(guān)系．理解并掌握勾股定理的逆定理，并會(huì)應(yīng)用。
教學(xué)難點(diǎn)理解勾股定理的逆定理的推導(dǎo)．
教具準(zhǔn)備 多媒體課件．
教學(xué)過(guò)程
一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)屬情境，引入新課
活動(dòng)1 (1)總結(jié)直角三角形有哪些性質(zhì)． (2)一個(gè)三角形，滿(mǎn)足什么條件是直角三角形?
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的歸納總結(jié)，聯(lián)想到用三邊的關(guān)系是否可以判斷一個(gè)三角形為直角三角形，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)反思問(wèn)題的能力．
師生行為 學(xué)生分組討論，交流總結(jié)；教師引導(dǎo)學(xué)生回憶．
本活動(dòng)，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生：①能否積極主動(dòng)地回憶，總結(jié)前面學(xué)過(guò)的舊知識(shí)；②能否“溫故知新”．
生：直角三角形有如下性質(zhì)：(1)有一個(gè)角是直角；(2)兩個(gè)銳角互余，(3)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方： (4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半．
師：那么，一個(gè)三角形滿(mǎn)足什么條件，才能是直角三角形呢?
生：有一個(gè)內(nèi)角是90°，那么這個(gè)三角形就為直角三角形．
生：如果一個(gè)三角形，有兩個(gè)角的和是90°，那么這個(gè)三角形也是直角三角形．
師：前面我們剛學(xué)習(xí)了勾股定理，知道一個(gè)直角三角形的兩直角邊a，b斜邊c具有一定的數(shù)量關(guān)系即a2＋b2＝c2，我們是否可以不用角，而用三角形三邊的關(guān)系來(lái)判定它是否為直角三角形呢?我們來(lái)看一下古埃及人如何做?
二、講授新課
活動(dòng)2 問(wèn)題：據(jù)說(shuō)古埃及人用下圖的方法畫(huà)直角：把一根長(zhǎng)蠅打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后以3個(gè)結(jié)，4個(gè)結(jié)、5個(gè)結(jié)的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角．
這個(gè)問(wèn)題意味著，如果圍成的三角形的三邊分別為3、4、5．有下面的關(guān)系“32＋42＝52”．那么圍成的三角形是直角三角形．
畫(huà)畫(huà)看，如果三角形的三邊分別為2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的關(guān)系，“2.52＋62＝6.52，畫(huà)出的三角形是直角三角形嗎?換成三邊分別為4cm、7.5cm、8.5cm．再試一試．
設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般，歸納猜想出“如果三角形三邊a，b，c滿(mǎn)足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形就為直免三角形的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力和尋求解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方法．
師生行為 讓學(xué)生在小組內(nèi)共同合作，協(xié)手完成此活動(dòng)．教師參與此活動(dòng)，并給學(xué)生以提示、啟發(fā)．在本活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生：①能否積極動(dòng)手參與．②能否從操作活動(dòng)中，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言歸納、猜想出結(jié)論．③學(xué)生是否有克服困難的勇氣．
生：我們不難發(fā)現(xiàn)上圖中，第(1)個(gè)結(jié)到第(4)個(gè)結(jié)是3個(gè)單位長(zhǎng)度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5．因?yàn)?2＋42＝52．我們圍成的三角形是直角三角形．
生：如果三角形的'三邊分別是2.5cm，6cm，6.5cm．我們用尺規(guī)作圖的方法作此三角形，經(jīng)過(guò)測(cè)量后，發(fā)現(xiàn)6.5cm的邊所對(duì)的角是直角，并且2.52＋62＝6.52．
再換成三邊分別為4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目標(biāo)可以發(fā)現(xiàn)8.5cm的邊所對(duì)的角是直角，且也有42＋7.52＝8.52．是不是三角形的三邊只要有兩邊的平方和等于第三邊的平方，就能得到一個(gè)直角三角形呢?
活動(dòng)3 下面的三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c，5，12，13；7，24，25；8，15，17．
(1)這三組效都滿(mǎn)足a2＋b2＝c2嗎?
(2)分別以每組數(shù)為三邊長(zhǎng)作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎?
設(shè)計(jì)意圖：本活動(dòng)通過(guò)讓學(xué)生按已知數(shù)據(jù)作出三角形，并測(cè)量三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)來(lái)進(jìn)一步獲得一個(gè)三角形是直角三角形的有關(guān)邊的條件．
師生行為：學(xué)生進(jìn)一步以小組為單位，按給出的三組數(shù)作出三角形，從而更加堅(jiān)信前面猜想出的結(jié)論，
教師對(duì)學(xué)生歸納出的結(jié)論應(yīng)給予解釋?zhuān)覀儗⒃谙乱还?jié)給出證明．本活動(dòng)教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生：①對(duì)猜想出的結(jié)論是否還有疑慮．②能否積極主動(dòng)的操作，并且很有耐心．
生：(1)這三組數(shù)都滿(mǎn)足a2＋b2＝c2．(2)以每組數(shù)為邊作出的三角形都是直角三角形．
師：很好，我們進(jìn)一步通過(guò)實(shí)際操作，猜想結(jié)論．
命題2 如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2＋b2＝c2那么這個(gè)三角形是直角三角形．
同時(shí)，我們也進(jìn)一步明白了古埃及人那樣做的道理．實(shí)際上，古代中國(guó)人也曾利用相似的方法得到直角．直至科技發(fā)達(dá)的今天——人類(lèi)已跨人21世紀(jì)，建筑工地上的工人師傅們?nèi)匀浑x不開(kāi)“三四五放線(xiàn)法”．
“三四五放線(xiàn)法”是一種古老的歸方操作．所謂“歸方”就是“做成直角”。譬如建造房屋，房角一般總是成90°，怎樣確定房角的縱橫兩線(xiàn)呢?
如下圖，欲過(guò)基線(xiàn)MN上的一點(diǎn)C作它的垂線(xiàn)，可由三名工人操作：一人手拿布尺或測(cè)繩的0和12尺處，固定在C點(diǎn)；另一人拿4尺處，把尺拉直，在MN上定出A點(diǎn)，再由一人拿9尺處，把尺拉直，定出B點(diǎn)，于是連結(jié)BC，就是MN的垂線(xiàn)．
建筑工人用了3，4，5作出了一個(gè)直角，能不能用其他的整數(shù)組作出直角呢?
生：可以，例如7，24，25；8，15，17等．
據(jù)說(shuō)，我國(guó)古代大禹治水測(cè)量工程時(shí)，也用類(lèi)似的方法確定直角．
活動(dòng)4 問(wèn)題：命題1 如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2＋b2＝c2．命題2 如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，滿(mǎn)足a2＋b2＝c2那么這個(gè)三角形是直角三角形．它們的題設(shè)和結(jié)論各有何關(guān)系?
設(shè)計(jì)意圖：認(rèn)識(shí)什么樣的兩個(gè)命題是互逆命題，明白什么是原命題，什么是逆命題?你前面遇到過(guò)有互逆命題嗎?
師生行為：學(xué)生閱讀課本，并回憶前面學(xué)過(guò)的一些命題．教師認(rèn)真傾聽(tīng)學(xué)生的分析．
教師在本活動(dòng)中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生；①能否發(fā)現(xiàn)互逆命題的題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系．②能否積極主動(dòng)地回憶我們前面學(xué)過(guò)的互逆命題．
生：我們可以看到命題2與命題1的題設(shè)．結(jié)論正好相反，我們把像這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中的一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題．例如把命題1當(dāng)成原命題，那么命題2是命題1的逆命題．
生：我們前面學(xué)過(guò)平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定．其中“兩直線(xiàn)平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線(xiàn)平行”是互逆命題．“兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”和“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行”也是互逆命題．
生：“兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”和“同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行”也是互逆命題．
三、課時(shí)小結(jié)
活動(dòng)5問(wèn)題：你對(duì)本節(jié)內(nèi)容有哪些認(rèn)識(shí)?
設(shè)計(jì)意圖：這種形式的小結(jié)，激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)參與意識(shí)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為每一位學(xué)生都創(chuàng)造了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，并為程度不同的學(xué)生提供了充分展示自己的機(jī)會(huì)，尊重學(xué)生的個(gè)體差異，滿(mǎn)足學(xué)生多極化學(xué)習(xí)的需要．
師生行為：教師課前準(zhǔn)備卡片，卡片上寫(xiě)出三個(gè)數(shù)，讓學(xué)生隨意抽出，判斷以這三個(gè)數(shù)為邊的三角形能否構(gòu)成直角三角形．
在活動(dòng)5中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生：(1)不同層次的學(xué)生對(duì)本節(jié)的認(rèn)知程度．(2)學(xué)生再談收獲是對(duì)不同方面的感受．(3)學(xué)生獨(dú)立面對(duì)困難和克服困難的能力．
活動(dòng)與探究
Tom和Jerry去野外宿營(yíng)，在某地要確定兩條互相垂直的線(xiàn)，而身邊又未帶直角尺，可利用的只有背包帶，你能幫他們想一個(gè)簡(jiǎn)單可行的辦法嗎?
過(guò)程：確定垂線(xiàn)，即為確定一個(gè)直角，進(jìn)而想到構(gòu)造直角三角形．
結(jié)果：可在背包帶上打結(jié)，在背包帶上打13個(gè)等距離的結(jié)，把第5個(gè)結(jié)固定在地上，Tom拿住第1個(gè)和第13個(gè)結(jié)，而Jerry拿住第8個(gè)結(jié)，拉直背包帶，第5個(gè)結(jié)處即為直角
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