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高中數(shù)學(xué)圓方程教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)
(一)知識(shí)目標(biāo)
1.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程：根據(jù)圓心坐標(biāo)、半徑熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中熟練地求出圓心坐標(biāo)和半徑；
2.理解并掌握切線方程的探求過程和方法。
(二)能力目標(biāo)
1．進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用坐標(biāo)法研究幾何問題的能力；
2. 通過教學(xué)，使學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用觀察、類比、聯(lián)想、猜測(cè)、證明等合情推理方法，提高學(xué)生運(yùn)算能力、邏輯思維能力；
3. 通過運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題及分析、解決問題的能力。
(三)情感目標(biāo)
通過運(yùn)用圓的知識(shí)解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí)，理解理論來源于實(shí)踐，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，激發(fā)學(xué)生自主探究問題的興趣，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、堅(jiān)忍不拔的意志品質(zhì)。
教學(xué)重、難點(diǎn)
(一)教學(xué)重點(diǎn)
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解、掌握。
(二)教學(xué)難點(diǎn)
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用。
教學(xué)方法
選用引導(dǎo)?探究式的教學(xué)方法。
教學(xué)手段
借助多媒體進(jìn)行輔助教學(xué)。
教學(xué)過程
�、�.復(fù)習(xí)提問、引入課題
師：前面我們學(xué)習(xí)了曲線和方程的關(guān)系及求曲線方程的方法。請(qǐng)同學(xué)們考慮：如何求適合某種條件的點(diǎn)的軌跡？
生：①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)；②寫出適合某種條件p的點(diǎn)M的集合P＝｛M ?p（M）｝；③用坐標(biāo)表示條件，列出方程f(x,y)=0；④化簡(jiǎn)方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式。⑤證明以化簡(jiǎn)后方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)（一般省略）。［多媒體演示］
師：這就是建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)四步曲。用這四步曲我們可以求適合某種條件的任何曲線方程，今天我們來看圓這種曲線的方程。［給出標(biāo)題］
師：前面我們?cè)C明過圓心在原點(diǎn)，半徑為5的圓的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25.
若半徑發(fā)生變化，圓的方程又是怎樣的？能否寫出圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程？
生：x2+y2=r2.
師：你是怎樣得到的？（引導(dǎo)啟發(fā)）圓上的點(diǎn)滿足什么條件？
生：圓上的任一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑。即 ，亦即 x2+y2=r2.
師：x2+y2=r2 表示的圓的位置比較特殊：圓心在原點(diǎn)，半徑為r.有時(shí)圓心不在原點(diǎn)，若此圓的圓心移至C（a,b）點(diǎn)（如圖），方程又是怎樣的？
生：此圓是到點(diǎn)C(a,b)的距離等于半徑r的點(diǎn)的集合，
由兩點(diǎn)間的距離公式得
即：（x-a）2+(y-b)2= r2
Ⅱ.講授新課、嘗試練習(xí)
師：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
特別：當(dāng)圓心在原點(diǎn)，半徑為r時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2+y2=r2.
師：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程由哪些量決定？
生：由圓心坐標(biāo)（a,b）及半徑r決定。
師：很好！實(shí)際上圓心和半徑分別決定圓的位置和大小。由此可見，要確定圓的方程，只需確定a、b、r這三個(gè)獨(dú)立變量即可。
1、 寫出下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：［多媒體演示］
�、� 圓心在原點(diǎn)，半徑是3 ：________________________
�、� 圓心在點(diǎn)C（3，4），半徑是 ：______________________
�、� 經(jīng)過點(diǎn)P（5，1），圓心在點(diǎn)C（8，－3）：_______________________
2、 變式題［多媒體演示］
① 求以C（1，3）為圓心，并且和直線3x-4y-7=0相切的圓的方程。
答案：(x-1)2 + (y-3)2 =
② 已知圓的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,寫出圓心坐標(biāo)和半徑。
答案： C（a,0）, r=|a|
�、�.例題分析、鞏固應(yīng)用
師：下面我們通過例題來看看圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用.
�。劾�1］ 已知圓的方程是 x2+y2=17，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)P（，）的切線的方程。
師：你打算怎樣求過P點(diǎn)的切線方程？
生：要求經(jīng)過一點(diǎn)的直線方程，可利用直線的點(diǎn)斜式來求。
師： 斜率怎樣求？
生：。。。。。。
師：已知條件有哪些？能利用嗎？不妨結(jié)合圖形來看看（如圖）
生：切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，故斜率互為負(fù)倒數(shù)
半徑OP的斜率 K1＝， 所以切線的斜率 K＝－＝－
所以所求切線方程：y-= －(x-)
即：x+y=17 (教師板書)
師：對(duì)照?qǐng)A的方程x2+y2=17和經(jīng)過點(diǎn)P（，）的切線方程x+y=17，你能作出怎樣的猜想？
生：。。。。。。
師：由x2+y2=17怎樣寫出切線方程x+y=17,與已知點(diǎn)P（，）有何關(guān)系？
�。ㄈ艨床怀鰜�，再看一例）
�。劾�1/］ 圓的方程是x2+y2=13，求過此圓上一點(diǎn)（2，3）的切線方程。
答案：2x+3y=13 即：2x+3y－13＝0
師：發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？（學(xué)生紛紛舉手回答）
生：分別用切點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)代替圓方程中的一個(gè)x和一個(gè)y，便得到了切線方程。
師：若將已知條件中圓半徑改為r，點(diǎn)改為圓上任一點(diǎn)（xo,yo）,則結(jié)論將會(huì)發(fā)生怎樣的變化？大膽地猜一猜！
生：xox+yoy=r2.
師：這個(gè)猜想對(duì)不對(duì)？若對(duì)，可否給出證明？
生：。。。。。。
［例2］已知圓的方程是 x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)P（xo,yo）的切線的方程。
解：如圖(上一頁)，因?yàn)榍芯�與過切點(diǎn)的半徑垂直，故半徑OP的斜率與切線的斜率互為負(fù)倒數(shù)
∵半徑OP的斜率 K1＝，∴切線的斜率 K＝－＝－
∴所求切線方程：y-yo= － (x-xo)
即：xox+yoy=xo2+yo2 亦即：xox+yoy=r2. (教師板書)
當(dāng)點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上時(shí)，可以驗(yàn)證上面方程同樣適用。
歸納總結(jié)：圓的方程可看成 x.x+y.y=r2,將其中一個(gè)x、y用切點(diǎn)的坐標(biāo)xo、yo 替換，可得到切線方程
［例3］右圖為某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖.該圓拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造時(shí)每隔4M需用一個(gè)支柱支撐，求支柱A2P2的長(zhǎng)度。（精確到0.01M）
引導(dǎo)學(xué)生分析，共同完成解答。
師生分析：①建系； ②設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（待定系數(shù)）；③求系數(shù)（求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）；④利用方程求A2P2的長(zhǎng)度。
解：以AB所在直線為X軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系。則圓心在Y軸上，設(shè)為
�。�0，b）,半徑為r，那么圓的方程是 x2+(y-b)2=r2.
∵P(0,4),B(10,0)都在圓上，于是得到方程組：
解得：b=-10.5 ,r2=14.52
∴圓的方程為 x2+(y＋10.5)2=14.52.
將P2的橫坐標(biāo)x=-2代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
且取y>0
得：y=
≈14.36-10.5=3.86 (M)
答：支柱A2P2的長(zhǎng)度約為3.86M。
�、�.課堂練習(xí)、課時(shí)小結(jié)
課本Ｐ77練習(xí)2，3
師：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解并掌握切線方程的探求過程和方法，能運(yùn)用圓的方程解決實(shí)際問題.
�、�.問題延伸、課后作業(yè)
(一)若P（xo,yo）在圓（x-a）2+(y-b)2= r2上時(shí)，?求過P點(diǎn)的圓的切線方程。
課本Ｐ81習(xí)題7.7 : 1，2，3，4
(二)預(yù)習(xí)課本Ｐ77～Ｐ79
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