高三理科數(shù)學圓錐曲線與方程總復習教學設(shè)計
高考導航
考試要求 重難點擊 命題展望
1.了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用;
2.掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì);
3.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質(zhì);
4.了解圓錐曲線的簡單應用;
5.理解數(shù)形結(jié)合的思想;
6.了解方程的曲線與曲線的方程的對應關(guān)系. 本章重點：1.橢圓、雙曲線、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì);2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題;3.求曲線的方程或曲線的軌跡;4.數(shù)形結(jié)合的思想，方程的思想，函數(shù)的思想，坐標法.
本章難點：1.對圓錐曲線的定義及性質(zhì)的理解和應用;2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題;3.曲線與方程的對應關(guān)系. 圓錐曲線與函數(shù)、方程、不等式、三角形、平面向量等知識結(jié)合是高考常考題型.極有可能以一小一大的形式出現(xiàn)，小題主要考查圓錐曲線的標準方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法運用;解答題常作為數(shù)學高考的把關(guān)題或壓軸題，綜合考查學生在數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等方面的能力.
知識網(wǎng)絡
9.1 橢 圓
典例精析
題型一 求橢圓的標準方程
【例1】已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為453和
253，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程.
【解析】由橢圓的定義知，2a=453+253=25，故a=5，
由勾股定理得，(453)2-(253)2=4c2，所以c2=53，b2=a2-c2=103，
故所求方程為x25+3y210=1或3x210+y25=1.
【點撥】(1)在求橢圓的標準方程時，常用待定系數(shù)法，但是當焦點所在坐標軸不確定時，需要考慮兩種情形，有時也可設(shè)橢圓的統(tǒng)一方程形式：mx2+ny2=1(m0，n0且m
(2)在求橢圓中的a、b、c時，經(jīng)常用到橢圓的定義及解三角形的知識.
【變式訓練1】已知橢圓C1的中心在原點、焦點在x軸上，拋物線C2的頂點在原點、焦點在x軸上.小明從曲線C1，C2上各取若干個點(每條曲線上至少取兩個點)，并記錄其坐標(x，y).由于記錄失誤，使得其中恰有一個點既不在橢圓C1上，也不在拋物線C2上.小明的記錄如下：
據(jù)此，可推斷橢圓C1的方程為 .
【解析】方法一：先將題目中的點描出來，如圖，A(-2,2)，B(-2，0)，C(0，6)，D(2，-22)，E(22，2)，F(xiàn)(3，-23).
通過觀察可知道點F，O，D可能是拋物線上的點.而A，C，E是橢圓上的點，這時正好點B既不在橢圓上，也不在拋物線上.
顯然半焦距b=6，則不妨設(shè)橢圓的方程是x2m+y26=1，則將點
A(-2,2)代入可得m=12，故該橢圓的方程是x212+y26=1.
方法二：欲求橢圓的解析式，我們應先求出拋物線的解析式，因為拋物線的解析式形式比橢圓簡單一些.
不妨設(shè)有兩點y21=2px1，①y22=2px2，②y21y22=x1x2，
則可知B(-2，0)，C(0，6)不是拋物線上的點.
而D(2，-22)，F(xiàn)(3，-23)正好符合.
又因為橢圓的交點在x軸上，故B(-2，0)，C(0，6)不 可能同時出現(xiàn).故選用A(-2,2)，E(22，2)這兩個點代入，可得橢圓的方程是x212+y26=1.
題型二 橢圓的幾何性質(zhì)的運用
【例2】已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，F(xiàn)1PF2=60.
(1)求橢圓離心率的范圍;
(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).
【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a0)，|PF1|=m，|PF2|=n，在△F1PF2中，
由余弦定理可知4c2=m2+n2-2mncos 60，
因為m+n=2a，所以m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn，
所以4c2=4a2-3mn，即3mn=4a2-4c2.
又mn(m+n2)2=a2(當且僅當m=n時取等號)，
所以4a2-4c23a2，所以c2a214，
即e12，所以e的取值范圍是[12，1).
(2)由(1)知mn=43b2，所以 =12mnsin 60=33b2，
即△F1PF2的面積只與橢圓的短軸 長有關(guān).
【點撥】橢圓中△F1PF2往往稱為焦點三角形，求解有關(guān)問題時，要注意正、余弦定理，面積公式的使用;求范圍時，要特別注意橢圓定義(或性質(zhì))與不等式的聯(lián)合使用，如|PF1||PF2|(|PF1|+|PF2|2)2，|PF1|a-c.
【變式訓練2】已知P是橢圓x225+y29=1上的一點，Q，R分別是圓(x+4)2+y2=14和圓
(x-4)2+y2=14上的點，則|PQ|+|PR|的最小值是.
【解析】設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓左、右焦點，則F1，F(xiàn)2分別為兩已知圓的圓心，
則|PQ|+|PR|(|PF1|-12)+(|PF2|-12)=|PF1|+|PF2|-1=9.
所以|PQ|+|PR|的最小值為9.
題型三 有關(guān)橢圓的綜合問題
【例3】(2010全國新課標)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2a2+y2b2=1(a0)的左、右焦點，過F1斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點，且 |AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列.
(1)求E的離心率;
(2)設(shè)點P(0，-1)滿足|PA|=|PB|，求E的方程.
【解析】(1)由橢圓定義知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，
又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得|AB|=43a.
l的方程為y=x+c，其中c=a2-b2.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標滿足方程組
化簡得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0，
則x1+x2=-2a2ca2+b2，x1x2=a2(c2-b2)a2+b2.
因為直線AB斜率為1，所以|AB|=2|x2-x1|=2[(x1+x2)2-4x1x2]，
即43a=4ab2a2+b2，故a2=2b2，
所以E的離心率e=ca=a2-b2a=22.
(2 )設(shè)AB的中點為N(x0，y0)，由(1)知x0=x1+x22=-a2ca2+b2=-23c，y0=x0+c=c3.
由|PA|=|PB|kPN=-1，即y0+1x0=-1c=3.
從而a=32，b=3，故E的方程為x218+y29=1.
【變式訓練3】已知橢圓x2a2+y2b2=1(a0)的離心率為e，兩焦點為F1，F(xiàn)2，拋物線以F1為頂點，F(xiàn)2為焦點，P為兩曲線的一個交點，若|PF1||PF2|=e，則e的值是()
A.32 B.33 C.22 D.63
【解析】設(shè)F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x0，y0)，則橢圓左準線x=-a2c，拋物線準線為x=
-3c，x0-(-a2c)=x0-(-3c)c2a2=13e=33.故選B.
總結(jié)提高
1.橢圓的標準方程有兩種形式，其結(jié)構(gòu)簡單，形式對稱且系數(shù)的幾何意義明確，在解題時要防止遺漏.確定橢圓需要三個條件，要確定焦點在哪條坐標軸上(即定位)，還要確定a、 b的值(即定量)，若定位條件不足應分類討論，或設(shè)方程為mx2+ny2=1(m0，n0，mn)求解.
2.充分利用定義解題，一方面，會根據(jù)定義判定動點的軌跡是橢圓，另一方面，會利用橢圓上的點到兩焦點的距離和為常數(shù)進行計算推理.
3.焦點三角形包含著很多關(guān)系，解題時要多從橢圓定義和三角形的幾何條件入手，且不可顧此失彼，另外一定要注意橢圓離心率的'范圍.
9.2 雙曲線
題型一 雙曲線的定義與標準方程
【例1】已知動圓E與圓A：(x+4)2+y2=2外切，與圓B：( x-4)2+y2=2內(nèi)切，求動圓圓心E的軌跡方程.
【解析】設(shè)動圓E的半徑為r，則由已知|AE|=r+2，|BE|=r-2，
所以|AE|-|BE|=22，又A(-4,0)，B(4,0)，所以|AB|=8,22|AB|.
根據(jù)雙曲線定義知，點E的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支.
因為a=2，c=4，所以b2=c2-a2=14，
故點E的軌跡方程是x22-y214=1(x2).
【點撥】利用兩圓內(nèi)、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出E點滿足的幾何條件，結(jié)合雙曲線定義求解，要特別注意軌跡是否為雙曲線的兩支.
【變式訓練1】P為雙曲線x29-y216=1的右支上一點，M，N分別是圓(x+5)2+y2=4和
(x-5)2+y2=1上的點，則|PM|-|PN|的最大值為()
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】選D.
題型二 雙曲線幾何性質(zhì)的運用
【例2】雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右頂點為A，x軸上有一點Q(2a,0)，若C上存在一點P，使 =0，求此雙曲線離心率的取值范圍.
【解析】設(shè)P(x，y)，則由 =0，得APPQ，則P在以AQ為直徑的圓上，
即 (x-3a2)2+y2=(a2)2，①
又P在雙曲線上，得x2a2-y2b2=1，②
由①②消去y，得(a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0，
即[(a2+b2)x-(2a3-ab2)](x-a)=0，
當x=a時，P與A重合，不符合題意，舍去;
當x=2a3-ab2a2+b2時，滿足題意的點P存在，需x=2a3-ab2a2+b2a，
化簡得a22b2，即3a22c2，ca62，
所以離心率的取值范圍是(1，62).
【點撥】根據(jù)雙曲線上的點的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式，是求離心率的取值范圍的常用方法.
【變式訓練2】設(shè)離心率為e的雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦點為F，直線l過焦點F，且斜率為k，則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是()
A.k2-e21 B.k2-e21
C.e2-k21 D.e2-k21
【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義，可知直線的斜率k只需滿足-ba
題型三 有關(guān)雙曲線的綜合問題
【例3】(2010廣東)已知雙曲線x22-y2=1的左、右頂點分別為A1、A2，點P(x1，y1)，Q(x1，-y1)是雙曲線上不同的兩個動點.
(1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程;
(2)若過點H(0，h)(h1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且l1l2，求h的值.
【解析】(1)由題意知|x1|2，A1(-2，0)，A2(2，0)，則有
直線A1P的方程為y=y1x1+2(x+2)，①
直線A2Q的方程為y=-y1x1-2(x-2).②
方法一：聯(lián)立①②解得交點坐標為x=2x1，y=2y1x1，即x1=2x，y1=2yx，③
則x0，|x|2.
而點P(x1，y1)在雙曲線x22-y2=1上，所以x212-y21=1.
將③代入上式，整理得所求軌跡E的方程為x22+y2=1，x0且x2.
方法二：設(shè)點M(x，y)是A1P與A2Q的交點，①②得y2=-y21x21-2(x2-2).③
又點P(x1，y1)在雙曲線上，因此x212-y21=1，即y21=x212-1.
代入③式整理得x22+y2=1.
因為點P，Q是雙曲線上的不同兩點，所以它們與點A1，A2均不重合.故點A1和A2均不在軌跡E上.過點(0,1)及A2(2，0)的直線l的方程為x+2y-2=0.
解方程組 得x=2，y=0.所以直線l與雙曲線只有唯一交點A2.
故軌跡E不過點(0,1).同理軌跡E也不過點(0，-1).
綜上分析，軌跡E的方程為x22+y2=1，x0且x2.
(2)設(shè)過點H(0，h)的直線為y=kx+h(h1)，
聯(lián)立x22+y2=1得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.
令=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0，得h2-1-2k2=0，
解得k1=h2-12，k2=-h2-12.
由于l1l2，則k1k2=-h2-12=-1，故h=3.
過點A1，A2分別引直線l1，l2通過y軸上的點H(0，h)，且使l1l2，因此A1HA2H，由h2(-h2)=-1，得h=2.
此時，l1，l2的方程分別為y=x+2與y=-x+2，
它們與軌跡E分別僅有一個交點(-23，223)與(23，223).
所以，符合條件的h的值為3或2.
【變式訓練3】雙曲線x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2等于()
A.1+22 B.3+22
C.4-22 D.5-22
【解析】本題考查雙曲線定義的應用及基本量的求解.
據(jù)題意設(shè)|AF1|=x，則|AB|=x，|BF1|=2x.
由雙曲線定義有|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a
(|AF1|+|BF1|)-(|AF2|+|BF2|)=(2+1)x-x=4a，即x=22a=|AF1|.
故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|=|F1F2|2-|AF1|2=4c2-8a2.
又由定義可得|AF2|=|AF1|-2a=22a-2a，即4c2-8a2=22-2a，
兩邊平方整理得c2=a2(5-22)c2a2=e2=5-22，故選D.
總結(jié)提高
1.要與橢圓類比來理解、掌握雙曲線的定義、標準方程和幾何性質(zhì)，但應特別注意不同點，如a，b，c的關(guān)系、漸近線等.
2.要深刻理解雙曲線的定義，注意其中的隱含條件.當||PF1|-|PF2||=2a|F1F2|時，P的軌跡是雙曲線;當||PF1|-|PF2||=2a=|F1F2|時，P的軌跡是以F1或F2為端點的射線;當
||PF1|-|PF2||=2a|F1F2|時，P無軌跡.
3.雙曲線是具有漸近線的曲線，畫雙曲線草圖時，一般先畫出漸近線，要掌握以下兩個問題：
(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線;
(2)求已知漸近線的雙曲線的方程.如已知雙曲線漸近線y=bax，可將雙曲線方程設(shè)為x2a2-y2b2=(0)，再利用其他條件確定的值，求法的實質(zhì)是待定系數(shù)法.
9.3 拋物線
典例精析
題型一 拋物線定義的運用
【例1】根據(jù)下列條件，求拋物線的標準方程.
(1)拋物線過點P(2，-4);
(2)拋物線焦點F在x軸上，直線y=-3與拋物線交于點A，|AF|=5.
【解析】(1)設(shè)方程為y2=mx或x2=ny.
將點P坐標代入得y2=8x或x2=-y.
(2)設(shè)A(m，-3)，所求焦點在x軸上的拋物線為y2=2px(p0)，
由定義得5=|AF|=|m+p2|，又(-3)2=2pm，所以p=1或9，
所求方程為y2=2x或y2=18x.
【變式訓練1】已知P是拋物線y2=2x上的一點，另一點A(a,0) (a0)滿足|P A|=d，試求d的最小值.
【解析】設(shè)P(x0，y0) (x00)，則y20=2x0，
所以d=|PA|=(x0-a)2+y20=(x0-a)2+2x0=[x0+(1-a)]2+2a-1.
因為a0，x00，
所以當0
當a1時，此時有x0=a-1，dmin=2a-1.
題型二 直線與拋物線位置討論
【例2】(2010湖北)已知一條曲線C在y軸右側(cè)，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程;
(2)是否存在正數(shù)m，對 于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有 0?若存在，求出m的取值范圍;若不存在，請說明理由.
【解析】(1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足：
(x-1)2+y2-x=1(x0).
化簡得y2=4x(x0).
(2)設(shè)過點M(m,0)(m0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2).
設(shè)l的方程為x=ty+m，由 得y2-4ty-4m=0，
=16(t2+m)0，于是 ①
又 =(x1-1，y1)， =(x2-1，y2).
(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y20.②
又x=y24，于是不等式②等價于 y214y224+y1y2-(y214+y224)+10
(y1y2)216+y1y2-14[(y1+y2)2-2y1y2]+10.③
由①式，不等式③等價于m2-6m+14t2.④
對任意實數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m2-6m+10，即3-22
由此可知，存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有 0，且m的取值范圍是(3-22，3+22).
【變式訓練2】已知拋物線y2=4x的一條弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線與y軸的交點坐標為(0,2)，則1y1+1y2= .
【解析】 y2-4my+8m=0，
所以1y1+1y2=y1+y2y1y2=12.
題型三 有關(guān)拋物線的綜合問題
【例3】已知拋物線C：y =2x2，直線y=kx+2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交 C于點N.
(1)求證：拋物線C在點N處的切線與AB平行;
(2)是否存在實數(shù)k使 =0?若存在，求k的值;若不存在，說明理由.
【解析】(1)證明：如圖，設(shè)A(x1,2x21)，B(x2,2x22)，
把y=kx+2代入y=2x2，得2x2-kx-2=0，
由韋達定理得x1+x2=k2，x1x2=-1，
所以xN=xM=x1+x22=k4，所以點N的坐標為(k4，k28).
設(shè)拋物線在點N處的切線l的方程為y-k28=m(x-k4)，
將y=2x2代入上式，得2x2-mx+mk4 -k28=0，
因為直線l與拋物線C相切，
所以=m2-8(mk4-k28)=m2-2mk+k2=(m-k)2=0，
所以m=k，即l∥AB.
(2)假設(shè)存在實數(shù)k，使 =0，則NANB，
又因為M是AB的中點，所以|MN|= |AB|.
由(1)知yM=12(y1+y2)=12(kx1+2+kx2+2)=12[k(x1+x2)+4]=12(k22+4)=k24+2.
因為MNx軸，所以|MN|=|yM-yN|=k24+2-k28=k2+168.
又|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2
=1+k2(k2)2-4(-1)=12k2+1k2+16.
所以k2+168=14k2+1k2+16，解得k=2.
即存在k=2，使 =0.
【點撥】直線與拋 物線的位置關(guān)系，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系;有關(guān)拋物線的弦長問題，要注意弦是否過焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|=x1+x2+p，若不過焦點，則必須使用一般弦長公式.
【變式訓練3】已知P是拋物線y2=2x上的一個動點，過點P作圓(x-3)2+y2=1的切線，切點分別為M、N，則|MN|的最小值是.
【解析】455.
總結(jié)提高
1.在拋物線定義中，焦點F不在準線l上，這是一個重要的隱含條件，若F在l上，則拋物線退化為一條直線.
2.掌握拋物線本身固有的一些性質(zhì)：(1)頂點、焦點在對稱軸上;(2)準線垂直于對稱軸;(3)焦點到準線的距離為p;(4)過焦點垂直于對稱軸的弦(通徑)長為2p.
3.拋物線的標準方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對應關(guān)系.求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線的類型，可采用待定系數(shù)法.
4.拋物線的幾何性質(zhì)，只要與橢圓、雙曲線加以對照，很容易把握.但由于拋物線的離心率為1，所以拋物線的焦點有很多重要性質(zhì)，而且應用廣泛，例如：已知過拋物線y2=2px(p0)的焦點的直線交拋物線于A、B兩點，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有下列性質(zhì)：|AB|=x1+x2+p或|AB|=2psin2(為AB的傾斜角)，y1y2=-p2，x1x2=p24等.
9.4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
典例精析
題型一 直線與圓錐曲線交點問題
【例1】若曲線y2=ax與直線y=(a+1)x-1恰有一個公共點，求實數(shù)a的值.
【解析】聯(lián)立方程組
(1)當a=0時，方程組恰有一組解為
(2)當a0時，消去x得a+1ay2-y-1=0，
①若a+1a=0，即a=-1，方程變?yōu)橐辉淮畏匠?y-1=0，
方程組恰有一組解
�、谌鬭+1a0，即a-1，令=0，即1+4(a+1)a=0，解得a= -45，這時直線與曲線相切，只有一個公共點.
綜上所述，a=0或a=-1或a=-45.
【點撥】本題設(shè)計了一個思維陷阱，即審題中誤認為a0，解答過程中的失誤就是不討論二次項系數(shù) =0，即a=-1的可能性，從而漏掉兩解.本題用代數(shù)方法解完后，應從幾何上驗證一下：①當a=0時，曲線y2=ax，即直線y=0，此時與已知直線y=x-1 恰有交點(1,0);②當a=-1時，直線y=-1與拋物線的對稱軸平行，恰有一個交點(代數(shù)特征是消元后得到的一元二次方程中二次項系數(shù)為零);③當a=-45時直線與拋物線相切.
【變式訓練1】若直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4有且只有一個公共點，則實數(shù)k的取值范圍為()
A.{1，-1，52，-52} B.(-，-52][52，+)
C.(-，-1][1，+) D.(-，-1)[52，+)
【解析】由 (1-k2)x2-2kx-5=0，
k=52，結(jié)合直線過定點(0，-1)，且漸近線斜率為1，可知答案為A.
題型二 直線與圓錐曲線的相交弦問題
【例2】(2010遼寧)設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1(a0)的右焦點為F，過F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60， =2 .
(1)求橢圓C的離心率;
(2)如果|AB|=154，求橢圓C的方程.
【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知y10，y20.
(1)直線l的方程為y=3(x-c)，其中c=a2-b2.
聯(lián)立
得(3a2+b2)y2+23b2cy-3b4=0.
解得y1=-3b2(c+2a)3a2+b2，y2=-3b2(c-2a)3a2+b2.
因為 =2 ，所以-y1=2y2，即3b2(c+2a)3a2+b2=2-3b2(c-2a)3a2+b2.
解得離心率e=ca=23.
(2)因為|AB|=1+13|y2-y1|，所以2343ab23a2+b2=154.
由ca=23得b=53a，所以54a=154，即a=3，b=5.
所以橢圓的方程為x29+y25=1.
【點撥】本題考查直線與圓錐曲線相交及相交弦的弦長問題，以及用待定系數(shù)法求橢圓方程.
【變式訓練2】橢圓ax2+ by2=1與直線y=1-x交于A，B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為32，則ab的值為 .
【解析】設(shè)直線與橢圓交于A、B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，弦中點坐標為(x0，y0)，代入橢圓方程兩式相減得a(x1-x2)(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0
2ax0+2by0y1-y2x1-x2=0ax0-by0=0.
故ab=y0x0=32.
題型三 對稱問題
【例3】在拋物線y2=4x上存在兩個不同的點關(guān)于直線l：y=kx+3對稱，求k的取值范圍.
【解析】設(shè)A(x1，y1)、B(x2、y2)是拋物線上關(guān)于直線l對稱的兩點，由題意知k0.
設(shè)直線AB的方程為y=-1kx+b，
聯(lián)立 消去x，得14ky2+y-b=0，
由題意有=12+414k0，即bk+10.(*)
且y1+y2=-4k.又y1+y22=-1kx1+x22+b.所以x1+x22=k(2k+b).
故AB的中點為E(k(2k+b)，-2k).
因為l過E，所以-2k=k2(2k+b)+3，即b=-2k-3k2-2k.
代入(*)式，得-2k-3k3-2+1k3+2k+3k30
k(k+1)(k2-k+3)-1
【點撥】(1)本題的關(guān)鍵是對稱條件的轉(zhuǎn)化.A(x1，y1)、B(x2，y2)關(guān)于直線l對稱，則滿足直線l與AB垂 直，且線段AB的中點坐標滿足l的方程;
(2)對于圓錐曲線上存在兩點關(guān)于某一直線對稱，求有關(guān)參數(shù)的范圍問題，利用對稱條件求出過這兩點的直線方程，利用判別式大于零建立不等式求解;或者用參數(shù)表示弦中點的坐標，利用中點在曲線內(nèi)部的條件建立不等式求參數(shù)的取值范圍.
【變式訓練3】已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于x+y=0對稱的兩點A，B，則|AB|等于()
A.3 B.4 C.32 D.42
【解析】設(shè)AB方程：y=x+b，代入y=-x2+3，得x2+x+b-3=0，
所以xA+xB=-1，故AB中點為(-12，-12+b).
它又在x+y=0上，所以b=1，所以|AB|=32，故選C.
總結(jié)提高
1.本節(jié)內(nèi)容的重點是研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判別式方法及弦中點問題的處理方法.
2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為相應方程組的解的討論，即聯(lián)立方程組
通過消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2+bx+c=0進行討論.這時要注意考慮a=0和a0兩種情況，對雙曲線和拋物線而言，一個公共點的情況除a0，=0外，直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對稱軸平行時，都只有一個交點(此時直線與雙曲線、拋物線屬相交情況).由此可見，直線與圓錐曲線只有一個公共點，并不是直線與圓錐曲線相切的充要條件.
3.弦中點問題的處理既可以用判別式法，也可以用點差法;使用點差法時，要特別注意驗證相交的情形.
9.5 圓錐曲線綜合問題
典例精析
題型一 求軌跡方程
【例1】已知拋物線的方程為x2=2y，F(xiàn)是拋物線的焦點，過點F的直線l與拋物線交于A、B兩點，分別過點A、B作拋物線的兩條切線l1和l2，記l1和l2交于點M.
(1)求證：l1
(2)求點M的軌跡方程.
【解析】(1)依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+12.
聯(lián)立 消去y整理得x2-2kx-1=0.設(shè)A的坐標為(x1，y1)，B的坐標為(x2，y2)，則有x1x2=-1，將拋物線方程改寫為y=12x2，求導得y=x.
所以過點A的切線l1的斜率是k1=x1，過點B的切線l2的斜率是k2=x2.
因為k1k2 =x1x2=-1，所以l1l2.
(2)直線l1的方程為y-y1=k1(x-x1)，即y-x212=x1(x-x1).
同理直線l2的方程為y-x222=x2(x-x2).
聯(lián)立這兩個方程消去y得x212-x222=x2(x-x2)-x1(x-x1)，
整理得(x1-x2)(x-x1+x22)=0，
注意到x1x2，所以x=x1+x22.
此時y=x212+x1(x-x1)=x212+x1(x1+x22-x1)=x1x22=-12.
由(1)知x1+x2=2k，所以x=x1+x22=kR.
所以點M的軌跡方程是y=-12.
【點撥】直接法是求軌跡方程最重要的方法之一，本題用的就是直接法.要注意求軌跡方程和求軌跡是兩個不同概念，求軌跡除了首先要求我們求出方程，還要說明方程軌跡的形狀，這就需要我們對各種基本曲線方程和它的形態(tài)的對應關(guān)系了如指掌.
【變式訓練1】已知△ABC的頂點為A(-5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上，則頂點C的軌跡方程是()
A.x29-y216=1 B.x216-y29=1
C.x29-y216=1(x3) D.x216-y29=1(x4)
【解析】如圖，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，
所以|CA|-|CB|=8-2=6，
根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為x29-y216=1(x3)，故選C.
題型二 圓錐曲線的有關(guān)最值
【例2】已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓x2+3y2=4上，對角線BD所在直線的斜率為1.當ABC=60時，求菱形ABCD面積的最大值.
【解析】因為四邊形ABCD為菱形，所以ACBD.
于是可設(shè)直線AC的方程為y=-x+n.
由 得4x2-6nx+3n2-4=0.
因為A，C在橢圓上，所以=-12n2+640，解得-433
設(shè)A，C兩點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1+x2=3n2，x1x2=3n2-44，
y1=-x1+n，y2=-x2+n. 所以y1+y2=n2.
因為四邊形ABCD為菱形，且ABC=60，所以|AB|=|BC|=|CA|.
所以菱形ABCD的面積S=32|AC|2.
又|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=-3n2+162，所以S=34(-3n2+16) (-433
所以當n=0時，菱形ABCD的面積取得最大值43.
【點撥】建立目標函數(shù)，借助代數(shù)方法求最值，要特別注意自變量的取值范圍.在考試中很多考生沒有利用判別式求出n的取值范圍，雖然也能得出答案，但是得分損失不少.
【變式訓練2】已知拋物線y=x2-1上有一定點B(-1,0)和兩個動點P、Q，若BPPQ，則點Q橫坐標的取值范圍是.
【解析】如圖，B(-1,0)，設(shè)P(xP，x2P-1)，Q(xQ，x2Q-1)，
由kBPkPQ=-1，得x2P-1xP+1x2Q-x2PxQ-xP=-1.
所以xQ=-xP-1xP-1=-(xP-1)-1xP-1-1.
因為|xP-1+1xP-1|2，所以xQ1或xQ-3.
題型三 求參數(shù)的取值范圍及最值的綜合題
【例3】(2010浙江)已知m1，直線l：x-my-m22=0，橢圓C：x2m2+y2=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點.
(1)當直線l過右焦點F2時，求直線l的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G，H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】(1)因為直線l：x-my-m22=0經(jīng)過F2(m2-1，0)，
所以m2-1=m22，解得m2=2，
又因為m1，所以m=2.
故直線l的方程為x-2y-1=0.
(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 消去x得2y2+my+m24-1=0，
則由=m2-8(m24-1)=-m2+80知m28，
且有y1+y2=-m2，y1y2=m28-12.
由于F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，故O為F1F2的中點，
由 =2 ， =2 ，得G(x13，y13)，H(x23，y23)，
|GH|2=(x1-x2)29+(y1-y2)29.
設(shè)M是GH的中點，則M(x1+x26，y1+y26)，
由題意可知，2|MO||GH|，即4[(x1+x26)2+(y1+y26)2](x1-x2)29+(y1-y2)29，
即x1x2+y1y20.
而x1x2+y1y2=(my1+m22)(my2+m22)+y1y2=(m2+1)(m28-12).
所以m28-120，即m24.
又因為m1且0，所以1
所以m的取值范圍是(1,2).
【點撥】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓、點與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
【變式訓練3】若雙曲線x2-ay2=1的右支上存在三點A、B、C使△ABC為正三角形，其中一個頂點A與雙曲線右頂點重合，則a的取值范圍為 .
【解析】設(shè)B(m，m2-1a)，則C(m，-m2-1a)(m1)，
又A(1,0)，由AB=BC得(m-1)2+m2-1a=(2m2-1a)2，
所以a=3m+1m-1=3(1+2m-1)3，即a的取值范圍為(3，+).
總結(jié)提高
1.求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用坐標法將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學們的一大難點.求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法、待定系數(shù)法.
2.最值問題的代數(shù)解法，是從動態(tài)角度去研究解析幾何中的數(shù)學問題的主要內(nèi)容，其解法是設(shè)變量、建立目標函數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.其中，自變量的取值范圍由直線和圓錐曲線的位置關(guān)系(即判別式與0的關(guān)系)確定.
3.范圍問題，主要是根據(jù)條件，建立含有參變量的函數(shù)關(guān)系式或不等式，然后確定參數(shù)的取值范圍.其解法主要有運用圓錐曲線上點的坐標的取值范圍，運用求函數(shù)的值域、最值以及二次方程實根的分布等知識.
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