初中數(shù)學(xué)《從梯子的傾斜程度談起》教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)
（一）教學(xué)知識點(diǎn)
1。經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程，理解正弦和余弦的意義。
2。能夠運(yùn)用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比。 3。能根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡單的計(jì)算。
4。理解銳角三角函數(shù)的意義。
�。ǘ┠芰τ�(xùn)練要求
1。經(jīng)歷類比、猜想等過程。發(fā)展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)。
2。體會數(shù)形結(jié)合的思想，并利用它分析、解決問題，提高解決問題的能力。
�。ㄈ┣楦信c價(jià)值觀要求
1。積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲。
2。形成合作交流的意識以及獨(dú)立思考的習(xí)慣
教學(xué)重點(diǎn)
1。理解銳角三角函數(shù)正弦、余弦的意義，并能舉例說明。
2。能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比。
3。能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡單的計(jì)算。
教學(xué)難點(diǎn)
用函數(shù)的觀點(diǎn)理解正弦、余弦和正切。
教學(xué)過程
Ⅰ。創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，引入新課
[師]我們在上一節(jié)課曾討論過用傾斜角的對邊與鄰邊之比來刻畫梯子的傾斜程度，并且得出了當(dāng)傾斜角確定時(shí)，其對邊與斜邊之比隨之確定。也就是說這一比值只與傾斜角有關(guān)，與直角三角形的大小無關(guān)。并在此基礎(chǔ)上用直角三角形中銳角的對邊與鄰邊之比定義了正切。
現(xiàn)在我們提出兩個(gè)問題：
[問題1]當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，其他邊之間的比也確定嗎？
[問題2]梯子的傾斜程度與這些比有關(guān)嗎？如果有，是怎樣的關(guān)系？
Ⅱ。講授新課
1。正弦、余弦及三角函數(shù)的定義
多媒體演示如下內(nèi)容：
想一想：如圖
（1）直角三角形AB1C1
和直角三角形AB2C2有
什么關(guān)系？
�。�2） 有什么
關(guān)系？ 呢？
�。�3）如果改變A2在梯子A1B上的位置呢？你由此可得出什么結(jié)論？
�。�4）如果改變梯子A1B的傾斜角的大小呢？你由此又可得出什么結(jié)論？
請同學(xué)們討論后回答。
[生]∵A1C1BC1，A2C2BC2，
A1C1//A2C2。
Rt△BA1C1∽Rt△BA2C2。
�。ㄏ嗨迫切螌�(yīng)邊成比例）。
由于A2是梯子A1B上的任意點(diǎn)，所以，如果改變A2在梯子A1B上的位置，上述
結(jié)論仍成立。
由此我們可得出結(jié)論：只要梯子的傾斜角確定，傾斜角的對邊。與斜邊的比值，傾斜角
的鄰邊與斜邊的比值隨之確定。也就是說，這一比值只與傾斜角有關(guān)，而與直角三角形大
小無關(guān)。
[生]如果改變梯子A1B的傾斜角的大小，如虛線的位置，傾斜角的對邊與斜邊的比
值，鄰邊與斜邊的比值隨之改變。
[師]我們會發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)變化的過程。對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值都隨著傾斜角的改變而改變，同時(shí)，如果給定一個(gè)傾斜角的值，它的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值是唯一確定的。這是一種什么關(guān)系呢？
[生]函數(shù)關(guān)系。
[師]很好！上面我們有了和定義正切相同的基礎(chǔ)，接著我們類比正切還可以有如下定義：（用多媒體演示）
在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么A的.對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定。如圖，A的對邊與鄰邊的比叫做A的正弦（sine），記作sinA，即
sinA＝
A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦（cosine），記作cosA，即
cosA=
銳角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函數(shù)（trigonometricfunction）。
[師]你能用自己的語言解釋一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A的三角函數(shù)”呢？
[生]我們在前面已討論過，當(dāng)直角三角形中的銳角A確定時(shí)。A的對邊與斜邊的比值，A的鄰邊與斜邊的比值，A的對邊與鄰邊的比值也都唯一確定。在“A的三角函數(shù)”概念中，A是自變量，其取值范圍是0A；三個(gè)比值是因變量。當(dāng)A變化時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對應(yīng)。
2。梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關(guān)系
[師]我們上一節(jié)知道了梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系：tanA的值越大，梯子越陡。由此我們想到梯子的傾斜程度是否也和sinA、cosA有關(guān)系呢？如果有關(guān)系，是怎樣的關(guān)系？
[生]如圖所示，AB＝A1B1，
在Rt△ABC中，sinA= ，在
Rt△A1B1C中，sinA1= 。
∵ ＜ ，
即sinAsinA1，而梯子A1B1比梯子AB陡，
所以梯子的傾斜程度與sinA有關(guān)系。sinA的值越大，梯子越陡。正弦值也能反映梯子的傾斜程度。
[生]同樣道理cosA= cosA1＝ ，
∵AB=A1B1 ＞ 即cosAcosA1，
所以梯子的傾斜程度與cosA也有關(guān)系。cosA的值越小，梯子越陡。
[師]同學(xué)們分析得很棒，能夠結(jié)合圖形分析就更為妙哉！從理論上講正弦和余弦都可以刻畫梯子的傾斜程度，但實(shí)際中通常使用正切。
3。例題講解
多媒體演示。
[例1]如圖，在Rt△ABC
中，B=90，AC＝
200。sinA＝0。6，求BC
的長。
分析：sinA不是“sin”與“A”的乘積，sinA表示A所在直角三角形它的對邊與斜邊的比值，已知sinA＝0。6， ＝0。6。
解：在Rt△ABC中，B＝90，AC＝200。
sinA＝0。6，即= 0。6，BC＝AC0。6＝2000。6=120。
思考：（1）cosA＝？
�。�2）sinC＝？ cosC＝？
�。�3）由上面計(jì)算，你能猜想出什么結(jié)論？
解：根據(jù)勾股定理，得
AB＝ =160。
在Rt△ABC中，CB＝90。
cosA＝ ＝0。8，
sinC= =0。8，
cosC＝ ＝0。6，
由上面的計(jì)算可知
sinA＝cosC＝O。6，
cosA＝sinC＝0。8。
因?yàn)镃＝90，所以，結(jié)論為“一個(gè)銳角的正弦等于它余角的余弦”“一個(gè)銳角的余弦等于它余角的正弦”。
[例2]做一做：
如圖，在Rt△ABC中，C=90，cosA＝ ，AC＝10，AB等于多少？sinB呢？cosB、sinA呢？你還能得出類似例1的結(jié)論嗎？請用一般式表達(dá)。
分析：這是正弦、余弦定義的進(jìn)一步應(yīng)用，同時(shí)進(jìn)一步滲透sin（90—A）＝cosA，cos
�。�90—A）=sinA。
解：在Rt△ABC中，C＝90，AC=10，cosA＝ ，cosA＝ ，
AB= ，
sinB＝
根據(jù)勾股定理，得
BC2＝AB2—AC2＝（ ）2—102=
BC＝ 。
cosB＝ ，[
sinA＝
可以得出同例1一樣的結(jié)論。
∵B=90，
sinA：cosB=cos（90—A），即sinA＝cos（90—A）；
cosA＝sinB＝sin（90—A），即cosA＝sin（90—A）。
�、�。隨堂練習(xí)
多媒體演示
1。在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB。
分析：要求sinB，cosB，tanB，先要構(gòu)造B所在的直角三角形。根據(jù)等腰三角形“三
線合一”的性質(zhì)，可過A作ADBC，D為垂足。
解：過A作ADBC，D為垂足。
AB=AC，BD=DC= BC=3。
在Rt△ABD中，AB＝5，BD=3，
AD＝4。
sinB＝ cosB＝ ，
tanB= 。
2。在△ABC中， C＝90，sinA＝ ，BC=20，求△ABC的周長和面積。
解：sinA= ，∵sinA= ，BC＝20，
AB＝ ＝＝25。
在Rt△BC中，AC＝ =15，
ABC的周長＝AB+AC+BC＝25+15+20＝60，
△ABC的面積： ACBC= 1520＝150
3。（2003年陜西）（補(bǔ)充練習(xí)）
在△ABC中。C=90，若tanA= ，
則sinA= 。
解：如圖，tanA= = 。
設(shè)BC=x，AC=2x，根據(jù)勾股定理，得
AB= 。
sinA= 。
�、�。課時(shí)小結(jié)
本節(jié)課我們類比正切得出了正弦和余弦的概念，用函數(shù)的觀念認(rèn)識了三種三角函數(shù)，即在銳角A的三角函數(shù)概念中，A是自變量，其取值范圍是090；三個(gè)比值是因變量。當(dāng)A確定時(shí)，三個(gè)比值分別唯一確定；當(dāng)A變化時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對應(yīng)。類比前一節(jié)課的內(nèi)容，我們又進(jìn)一步思考了正弦和余弦的值與梯子傾斜程度之間的關(guān)系以及用正弦和余弦的定義來解決實(shí)際問題。
�、�。課后作業(yè)
習(xí)題1、2第1、2、3、4題
�、��；顒优c探究
已知：如圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，求證：BC2＝ABBD。（用正弦、余弦函數(shù)的定義證明）
[過程]根據(jù)正弦和余弦的定義，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值（或余弦值）就相等，不必只局限于某一個(gè)直角三角形中，在Rt△ABC中，CDAB。所以圖中含有三個(gè)直角三角形。例如B既在Rt△BDC中，又在Rt△ABC中，涉及線段BC、BD、AB，由正弦、余弦的定義得cosB＝ ，cosB= 。
[結(jié)果]在Rt△ABC中，cosB＝
又∵CDAB。
在Rt△CDB中，cosB＝
= BC2＝ABBD。
板書設(shè)計(jì)
1。1。2 從梯子傾斜程度談起（二）
1。正弦、余弦的定義在Kt△ABC中，如果銳角A確定。
sinA＝ [
cosA＝
2。梯子的傾斜程度與sinA和cosA有關(guān)嗎？
sinA的值越大，梯子越陡
cosA的值越小，梯子越陡
3。例題講解
4。隨堂練習(xí)
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