《直線的傾斜角與斜率》的教學(xué)設(shè)計
教學(xué)目標(biāo)：
知識與技能
正確理解直線的傾斜角和斜率的概念.
理解直線的傾斜角的唯一性.
理解直線的斜率的存在性.
斜率公式的推導(dǎo)過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.
情感態(tài)度與價值觀
(1) 通過直線的傾斜角概念的引入學(xué)習(xí)和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運用數(shù)學(xué)語言表達能力，數(shù)學(xué)交流與評價能力.
(2) 通過斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神.
重點與難點： 直線的傾斜角、斜率的概念和公式.
教學(xué)用具：計算機
教學(xué)方法：啟發(fā)、引導(dǎo)、討論.
教學(xué)過程：
(一)直線的傾斜角的概念
我們知道, 經(jīng)過兩點有且只有(確定)一條直線. 那么, 經(jīng)過一點P的直線l的位置能確定嗎? 如圖, 過一點P可以作無數(shù)多條直線a,b,c, …易見,答案是否定的.這些直線有什么聯(lián)系呢?
(1)它們都經(jīng)過點P. (2)它們的‘傾斜程度’不同. 怎樣描述這種‘傾斜程度’的不同?
引入直線的傾斜角的概念：
當(dāng)直線l與x軸相交時, 取x軸作為基準(zhǔn), x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當(dāng)直線l與x軸平行或重合時, 規(guī)定α= 0°.
問： 傾斜角α的取值范圍是什么? 0°≤α<180°.
當(dāng)直線l與x軸垂直時, α= 90°.
因為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的每一條直線都有確定的傾斜程度, 引入直線的傾斜角之后, 我們就可以用傾斜角α來表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的每一條直線的傾斜程度.
如圖, 直線a∥b∥c, 那么它們的傾斜角α相等嗎? 答案是肯定的`.所以一個傾斜角α不能確定一條直線.確定平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線位置的幾何要素： 一個點P和一個傾斜角α.
(二)直線的斜率：
一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是
k = tanα
�、女�(dāng)直線l與x軸平行或重合時, α=0°, k = tan0°=0;
�、飘�(dāng)直線l與x軸垂直時, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如, α=45°時, k = tan45°= 1;
α=135°時, k = tan135°= tan(180°- 45°) = - tan45°= - 1.
學(xué)習(xí)了斜率之后, 我們又可以用斜率來表示直線的傾斜程度.
(三) 直線的斜率公式：
給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用兩點的坐標(biāo)來表示直線P1P2的斜率?
可用計算機作動畫演示： 直線P1P2的四種情況, 并引導(dǎo)學(xué)生如何作輔助線,
共同完成斜率公式的推導(dǎo).(略)
斜率公式
對于上面的斜率公式要注意下面四點：
(1) 當(dāng)x1=x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角α= 90°, 直線與x軸垂直;
(2)k與P1、P2的順序無關(guān), 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同時交換, 但分子與分母不能交換;
(3)斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標(biāo)求得;
(4) 當(dāng) y1=y2時, 斜率k = 0, 直線的傾斜角α=0°，直線與x軸平行或重合.
(5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率而得到.
(四)例題：
例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直線AB, BC, CA的斜率, 并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.(用計算機作直線, 圖略)
分析： 已知兩點坐標(biāo), 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;
而當(dāng)k = tanα<0時, 傾斜角α是鈍角;
而當(dāng)k = tanα>0時, 傾斜角α是銳角;
而當(dāng)k = tanα=0時, 傾斜角α是0°.
略解： 直線AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的傾斜角α是銳角;
直線BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的傾斜角α是鈍角;
直線CA的斜率k3=1>0, 所以它的傾斜角α是銳角.
例2 在平面直角坐標(biāo)系中, 畫出經(jīng)過原點且斜率分別為1, -1, 2, 及-3的直線a, b, c, l.
分析：要畫出經(jīng)過原點的直線a, 只要再找出a上的另外一點M. 而M的坐標(biāo)可以根據(jù)直線a的斜率確定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原點為角的頂點,x 軸的正半軸為角的一邊, 在x 軸的上方作45°的角, 再把所作的這一邊反向延長成直線即可.
略解： 設(shè)直線a上的另外一點M的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)斜率公式有
1=(y-0)/(x-0)
所以 x = y
可令x = 1, 則y = 1, 于是點M的坐標(biāo)為(1,1).此時過原點和點
M(1,1), 可作直線a.
同理, 可作直線b, c, l.(用計算機作動畫演示畫直線過程)
(五)練習(xí)： P91 1. 2. 3. 4.
(六)小結(jié)：
(1)直線的傾斜角和斜率的概念.
(2) 直線的斜率公式.
(七)課后作業(yè)： P94 習(xí)題3.1 1. 3.
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