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《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)
【教學(xué)及培養(yǎng)目標(biāo)】
雙基：理解橢圓的定義，明確焦點(diǎn)、焦距的概念，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；進(jìn)一步學(xué)習(xí)類比、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，理解坐標(biāo)法及其應(yīng)用．
能力：通過(guò)讓學(xué)生積極參與，親身經(jīng)歷橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的獲得過(guò)程，體驗(yàn)坐標(biāo)法在處理幾何問(wèn)題中的優(yōu)越性；在探索橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程過(guò)程中，培養(yǎng)分析和概括能力．
【教材處理的建議】
重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)．
【教學(xué)技巧與輔助手段】
運(yùn)用多媒體（ppt）和實(shí)物投影儀等輔助教學(xué)．
【教學(xué)探究過(guò)程】
一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景、引出概念
首先用多媒體演示“神舟六號(hào)”飛船繞地球旋轉(zhuǎn)運(yùn)行的畫面，并描繪出運(yùn)行軌跡圖．
探究一 “神舟七號(hào)”飛船繞地球旋轉(zhuǎn)的軌跡是什么圖形？（橢圓）
此外老師可以指出，在生活中，除橢圓外，還有拋物線、雙曲線等例子．
再運(yùn)用多媒體演示一個(gè)平面截圓錐的各種情形，向?qū)W生介紹“圓錐曲線”這個(gè)名稱的來(lái)歷．
教師指出：橢圓在實(shí)際生活中是很常見的，學(xué)習(xí)橢圓的有關(guān)知識(shí)也是十分必要的．
�。ㄕf(shuō)明：本環(huán)節(jié)由實(shí)際例子引入，讓學(xué)生形成橢圓的感性認(rèn)識(shí)，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，明白生活實(shí)踐中有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察周圍事物的能力．）
二、引導(dǎo)學(xué)生探究嘗試、歸納提煉形成概念
引導(dǎo)：曲線可以看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡，那么橢圓是滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡呢？要想知道橢圓是滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡，首先要知道橢圓的幾何特征．
學(xué)生實(shí)驗(yàn)：按課本上介紹的方法，學(xué)生用一塊紙板，兩個(gè)圖釘，一根無(wú)彈性的細(xì)繩嘗試畫橢圓．
讓學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，同桌相互切磋，探討研究．（提醒學(xué)生：作圖過(guò)程中要注意觀察橢圓的幾何特征，即橢圓上的點(diǎn)要滿足怎樣的幾何條件？）
�。ㄕf(shuō)明：按學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律與心理特征，設(shè)置一系列遞進(jìn)的問(wèn)題，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，在實(shí)驗(yàn)中引導(dǎo)學(xué)生自己觀察橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何條件，從而認(rèn)識(shí)橢圓概念．）
啟發(fā)、歸納出橢圓的定義：
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于| F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距
引導(dǎo)學(xué)生找定義的關(guān)鍵處：
�、倨矫媲�；
�、谌我庖稽c(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)；
�、鄢�(shù)大于| F1F2|．
（說(shuō)明：實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)橢圓的幾何特征，可以挖掘出橢圓定義的內(nèi)涵，使得學(xué)生對(duì)橢圓的定義留下深刻印象．）
三、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)
由老師帶學(xué)生回憶圓的方程的建立過(guò)程，歸納求曲線方程的一般步驟：建系設(shè)點(diǎn)列出方程化簡(jiǎn)方程．建系一般應(yīng)遵循簡(jiǎn)單、優(yōu)化的原則．
（說(shuō)明：溫故而知新，類比圓的方程的建立過(guò)程，歸納出求曲線方程的一般步驟，為下一步學(xué)習(xí)做好鋪墊．）
探究二 怎樣建立坐標(biāo)系，才能使求出的橢圓方程最為簡(jiǎn)單？
�。ㄕf(shuō)明：正確選取坐標(biāo)系是建立曲線方程的關(guān)鍵之一，結(jié)合建立坐標(biāo)系的一般原則── 利用曲線的幾何特征，特別是對(duì)稱性，可以使曲線方程簡(jiǎn)單化．可以從“對(duì)稱美”、“簡(jiǎn)潔美”等角度作一定的點(diǎn)撥，最后讓學(xué)生選擇合理的坐標(biāo)系．）
經(jīng)學(xué)生討論易得如下方案：
1．建系．取過(guò)焦點(diǎn)的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立坐標(biāo)系．
2．設(shè)點(diǎn)．設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn)，橢圓的焦距是（）.則．又設(shè)M與距離之和等于()．
3．列式．依據(jù)橢圓的定義，有
教師啟發(fā)：這個(gè)方程形式復(fù)雜，應(yīng)該化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)的目的是去掉根式，可兩邊平方．但這里有兩個(gè)根式，如何平方更簡(jiǎn)捷？
引導(dǎo)學(xué)生得出：應(yīng)該用移項(xiàng)平方，再移項(xiàng)再平方的方法．
�。ㄕf(shuō)明：在解決解析幾何問(wèn)題中，熟練運(yùn)用代數(shù)變形技巧是十分重要的，學(xué)生常因運(yùn)算能力不強(qiáng)而功虧一簣．在此應(yīng)抓住機(jī)會(huì)加強(qiáng)運(yùn)算技能的訓(xùn)練．）
4．化簡(jiǎn)．通過(guò)移項(xiàng), 兩次平方后得到：
兩邊同除以，得 ． （※）
由橢圓的定義可知，,即，
思考：觀察上圖，能從中找出表示的線段嗎？由圖可知，．令，那么（※）就是
此即為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．它所表示橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)是，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程．
探究三：如果橢圓的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，線段F1F2的垂直平分線為x軸，a，b，c意義同上，橢圓的方程形式又如何？
學(xué)生討論、交流，合情猜想可得，焦點(diǎn)變成,只要將方程中的調(diào)換，即可得（），它所表示的是焦點(diǎn)在軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
要求學(xué)生課后推導(dǎo)驗(yàn)證．
�。ㄕf(shuō)明：發(fā)揮學(xué)生的直覺(jué)思維，類比得到焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．）
引導(dǎo)學(xué)生注意理解以下幾點(diǎn)：
�、� 在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有的要求；
�、� 在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，由于，所以可以根據(jù)分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上；
�、� 橢圓的三個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系是，其中大小不確定．
四、研究例題、形成技能
例1 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1(0,-4)，F(xiàn)2（0，4），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．
�。ㄏ茸寣W(xué)生分析解題思路．強(qiáng)調(diào)從定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)出發(fā)考慮問(wèn)題的重要性．）
解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為
因?yàn)?a=10，2c=8，所以a=5，b=4．
所以，b2=a2－c2=52－42=9．
所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．
例2 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（－2，0）和F2（2, 0），過(guò)點(diǎn)P0（,），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（先讓學(xué)生分析解題思路．除了強(qiáng)調(diào)從定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)出發(fā)考慮問(wèn)題的重要性外，還要注意引導(dǎo)學(xué)生分析本例與例1的不同點(diǎn)．）
解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為
由橢圓的定義知，
所以，．又，
所以，．
所以所求標(biāo)準(zhǔn)方程為．
另法：因?yàn)椋?/p>
所以可設(shè)所求方程．將點(diǎn)P0（,）的坐標(biāo)代入可求出，從而求出橢圓方程．
�。ㄕf(shuō)明：由兩個(gè)例題可以總結(jié)橢圓方程有兩種求法：其一由定義求出與，根據(jù)條件寫出方程；其二是由a，b，c的關(guān)系和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，由點(diǎn)在橢圓上的條件，用待定系數(shù)的辦法得出方程．可以達(dá)到滲透求軌跡的常用方法的目的．另外要注意求方程的基本步驟．）
五、課堂形成性練習(xí)，即時(shí)反饋
1．寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
�。�1）a=4,b=3,焦點(diǎn)在x軸；
�。�2）a=5,c=2,焦點(diǎn)在y軸上．
2．橢圓的焦距是 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ；若CD為過(guò)左焦點(diǎn)的弦，則的周長(zhǎng)為 ．
六、知識(shí)整理，形成系統(tǒng)（由學(xué)生歸納）
1．橢圓的定義（注意幾何特征和三個(gè)條件）．
2．推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（注意焦點(diǎn)的位置與方程形式的關(guān)系，直接法求軌跡方程）．
3．求橢圓方程的方法（待定系數(shù)法求軌跡方程）．
七、布置作業(yè)，鞏固提高
1．課本P40．1－3．
2．小組合作自編題（總題數(shù)4個(gè)，可以填空、選擇或解答題．要求說(shuō)明編題的基本思路）．
3．探索題：上網(wǎng)查詢有關(guān)橢圓的幾何作法，對(duì)不同的作法作比較，并研究交流其作法根據(jù)．
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