歷年考研數(shù)學(xué)真題解析線性代數(shù)命題特點解析

　　考研數(shù)學(xué)是研究生招生入學(xué)考試中通過筆試的形式對考生數(shù)學(xué)功底的考查，從近幾年的考研數(shù)學(xué)歷年真題分析結(jié)果來看，可以得出一個結(jié)論：線性代數(shù)的難度在高數(shù)和概率統(tǒng)計之間，且大多數(shù)的同學(xué)認(rèn)為線性代數(shù)試題難度不大，就是計算量稍微偏大點，線代代數(shù)的考查是對基本方法的考查，但是往往在做題過程中需要利用一些性質(zhì)進(jìn)行輔助解決。

　　線性代數(shù)的學(xué)科特點是知識點之間的綜合性比較強，這也是它本身的一個難點。這就需要同學(xué)們在復(fù)習(xí)過程中，注意對于知識點間的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行對比著學(xué)習(xí)，有助于鞏固知識點且不易混淆。

　　總體來說，線性代數(shù)主要包括六部分的內(nèi)容，行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型。

　　一、行列式部分，熟練掌握行列式的計算。

　　行列式實質(zhì)上是一個數(shù)或含有字母的式子，如何把這個數(shù)算出來，一般情況下很少用行列式的定義進(jìn)行求解，而往往采用行列式的性質(zhì)將其化成上或下三角行列式進(jìn)行計算，或是采用降階法(按行或按列展開定理)，甚至有時兩種方法同時用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分為低階的數(shù)字型矩陣和高階抽象行列式的計算、含參數(shù)的行列式的計算等等。同學(xué)們只要掌握了基本方法即可。

　　二、矩陣部分，重視矩陣運算，掌握矩陣秩的應(yīng)用。

　　通過考研數(shù)學(xué)歷年真題分類統(tǒng)計與考點分布，矩陣部分的考點集中在逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣的秩及矩陣方程的考查。此外，含隨矩陣的矩陣方程，矩陣與行列式的關(guān)系、逆矩陣的求法也是考生需要掌握的知識點。涉及秩的應(yīng)用，包含秩與矩陣可逆的關(guān)系，矩陣及其伴隨矩陣秩之間的關(guān)系，矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系，矩陣等價與向量組等價的區(qū)別與聯(lián)系，系數(shù)矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的分析。

　　三、向量部分，理解相關(guān)無關(guān)概念，靈活進(jìn)行判定。

　　向量組的線性相關(guān)問題是向量部分的重中之重，也是考研線性代數(shù)每年必出的考點。要求考生掌握線性相關(guān)、線性表出、線性無關(guān)的定義。以及如何判斷向量組線性相關(guān)及線性無關(guān)的方法。 向量組的秩和極大無關(guān)組以及向量組等價這些重要的知識點要求同學(xué)們一定一定掌握到位。

　　這是線性代數(shù)前三個內(nèi)容的命題特點，而行列式的矩陣是整個線性代數(shù)的基礎(chǔ)，對于行列式的計算及矩陣的運算與一些重要的性質(zhì)與結(jié)論請考生朋友們一定要務(wù)必掌握，否則的話，對于后面四部分的學(xué)習(xí)會越學(xué)越難，希望同學(xué)們在復(fù)習(xí)過程中一定注意前面內(nèi)容的復(fù)習(xí)，為后面的考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)打好基礎(chǔ)。

　　前面我們已經(jīng)分析過，考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)這門學(xué)科整體的特點是知識點之間的綜合性比較強，有些概念較為抽象，這也是大部分考生認(rèn)為考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)不好學(xué)，根本找不到復(fù)習(xí)的頭緒，做題時也是一頭霧水，不知道怎么分析考慮。

　　這里，老師要求大家在學(xué)習(xí)過程中一定要注意知識間之間的關(guān)聯(lián)性，理解概率的實質(zhì)。如：矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)聯(lián)，矩陣等價與向量組等價的區(qū)別，矩陣等價、相似、合同三者之間的區(qū)別與聯(lián)系、矩陣相似對角化與實對稱矩陣正交變換對角化二者之間的區(qū)別與聯(lián)系等等。若是同學(xué)們對于上面的問題根本分不清楚，則說明大家對于基本概念、基本方法還沒有完全理解透徹。不過，大家也不要太焦急，希望同學(xué)們在后期的'復(fù)習(xí)過程中對于基本概念、基本方法要多加理解和體會，學(xué)習(xí)一定要有心得。

　　下面我們分析一下后面三部分的內(nèi)容，線性方程組、特征值與特征向量、二次型的命題特點。

　　線性方程組，會求兩類方程組的解。線性方程組是線性代數(shù)這么學(xué)科的核心和樞紐，很多問題的解決都離不開解方程組。因而線性方程組解的問題是每年必考的知識點。對于齊次線性方程組，我們需要掌握基礎(chǔ)解系的概念，以及如何求一個方程組的基礎(chǔ)解系。清楚明了基礎(chǔ)解系所含線性無關(guān)解向量的個數(shù)和系數(shù)矩陣的秩之間的關(guān)系。會判斷非齊次線性方程組的解的情況，掌握其求解的方法。此外，考生還需要掌握非齊次線性方程組與其對應(yīng)的齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。

　　特征值與特征向量，掌握矩陣對角化的方法。這一部分是理論性較強的，理解特征值與特征向量的定義及性質(zhì)，矩陣相似的定義，矩陣對角化的定義。同學(xué)們還需掌握求矩陣特征值與特征向量的基本方法。會判斷一個矩陣是否可以對角化，若可以的話，需要把相應(yīng)的可逆矩陣P求出來。還需要注意矩陣及其關(guān)聯(lián)矩陣(轉(zhuǎn)置、逆、伴隨、相似)的特征值與特征向量的關(guān)系。反問題也是喜歡考查的一類題型，已知矩陣的特征值與特征向量，反求矩陣A。

　　二次型，理解二次型標(biāo)準(zhǔn)化的過程，掌握實對稱矩陣的對角化。二次型幾乎是每年必考的一道大題，一般考查的是采用正交變換法將二次型標(biāo)準(zhǔn)化。掌握二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范型之間的區(qū)別與聯(lián)系。會判斷二次型是否正定的一般方法。討論矩陣等價、相似、合同的關(guān)系。

　　雖然線性代數(shù)在考研數(shù)學(xué)考試試卷中僅有5題，占有34分的分值，但是這34分也不是很輕松就能拿下的。同學(xué)們在復(fù)習(xí)過程中需要對于基礎(chǔ)知識點理解透徹，做考研數(shù)學(xué)題過程中多分析總結(jié)。

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