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宜昌市2015年中考數(shù)學(xué)試題解析
一、選擇題(下列各題中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，本大題共15小題，每小題3分，計(jì)45分)
1.中國(guó)倡導(dǎo)的“一帶一路”建設(shè)將促進(jìn)我國(guó)與世界各國(guó)的互利合作，根據(jù)規(guī)劃，“一帶一路”地區(qū)覆蓋總?cè)丝诩s為4400000000人，這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 44×108 B. 4.4×109 C. 4.4×108 D. 4.4×1010
考點(diǎn)： 科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)..
分析： 科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù).確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>1時(shí)，n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，n是負(fù)數(shù).
解答： 解：4 400 000 000=4.4×109，
故選：B.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.
2.(3分)(2015•宜昌)下列剪紙圖案 中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
考 點(diǎn)： 中心對(duì)稱圖形;軸對(duì)稱圖形..
分析： 根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.
解答： 解：A、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確;
B、不是軸對(duì)稱圖形，因?yàn)檎也坏饺魏芜@樣的一條直線，沿這條直線對(duì)折后它的兩部分能夠重合;即不滿足軸對(duì)稱圖形的定義.是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，因?yàn)檎也坏饺魏芜@樣的一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)180度后它的兩部分能夠重合;即不滿足中心對(duì)稱圖形的定義，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：A.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合;中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.
3.(3分)(2015•宜昌)陸地上最高處是珠穆朗瑪峰頂，高出海平面8848m，記為+8848m;陸地上最低處是地處亞洲西部的死海，低于海平面約415m，記為( )
A. +415m B. ﹣415m C. ±415m D. ﹣8848m
考點(diǎn)： 正數(shù)和負(fù)數(shù)..
分析： 根據(jù)用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量的方法，可得：高出海平面8848m，記為+8848m;則低于海平面約415m，記為﹣415m，據(jù)此解答即可.
解答： 解：∵高出海平面8848m，記為+8848m;
∴低于海平面約415m，記為﹣415m.
故選：B.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：具有相反意義的量都是互相依存的兩個(gè)量，它包含兩個(gè)要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量.
4.(3分)(2015•宜昌)某校對(duì)九年級(jí)6個(gè)班學(xué)生平均一周的課外閱讀時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，分別為(單位：h)：3.5，4，3.5，5，5，3.5.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是( )
A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 5
考點(diǎn)： 眾數(shù)..
分析： 一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，依此求解即可.
解答： 解：在這一組數(shù)據(jù)中3.5出現(xiàn)了3次，次數(shù)最多，故眾數(shù)是3.5.
故選B.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了眾數(shù)的定義，求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找 出頻數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，若幾個(gè)數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時(shí)眾數(shù)就是這多個(gè)數(shù)據(jù).
5.(3分)(2015•宜昌)如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分為6個(gè)大小相同的扇形，指針的位置固定，轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤停止后，其中的某個(gè)扇形會(huì)恰好停在指針?biāo)傅奈恢?指針指向兩個(gè)扇形的交線時(shí)，當(dāng)作指向右邊的扇形)，指針指向陰影區(qū)域的概率是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn)： 幾何概率..
分析： 求出陰影在整個(gè)轉(zhuǎn)盤中所占的比例即可解答.
解答： 解：∵每個(gè)扇形大小相同，因此陰影面積與空白的面積相等，
∴落在陰影部分的概率為： = .
故選：C.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了幾何概率，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比.
6.(3分)(2015•宜昌)下列式子沒有意義的是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn)： 二次根式有意義的條件..
分析： 根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，可得答案.
解答： 解：A、 沒有意義，故A符合題意;
B、 有意義，故B不符合題意;
C、 有意義，故C不符合題意;
D、 有意義，故D不符合題意;
故選：A.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵.
7.(3分)(2015•宜昌)不等式組 的解集在數(shù)軸上表示正確的是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn)： 在數(shù)軸上表示不等式的解集;解一元一次不等式組..
分析： 根據(jù)不等式的基本性質(zhì)來解不等式組，兩個(gè)不等式的解集的交集，就是該不等式組的解集;然后把不等式的解集根據(jù)不等式解集在數(shù)軸上的表示方法畫出圖示.
解答： 解：不等式組的解集是﹣1≤x≤3，其數(shù)軸上表示為：
故選B
點(diǎn)評(píng)： 不等式組的解集：不等式組的解集可以先求這些個(gè)不等式各自的解，然后再找它們的相交的公共部分(最好先在數(shù)軸上畫出它們的解)，找它們的相交的公共部分可以用這個(gè)口訣記住 ：同小取小，同大取大;比大的小，比小的大，取中間;比大的大，比小的小，無解.
8.(3分)(2015•宜昌)下列圖形具有穩(wěn)定性的是( )
A. 正方形 B. 矩形 C. 平行四邊形 D. 直角三角形
考點(diǎn)： 三角形的穩(wěn)定性;多邊形..
分析： 根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性進(jìn)行判斷.
解答： 解：直角三角形具有穩(wěn)定性.
故選：D.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性，正確掌握三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
9.(3分)(2015•宜昌)下列圖形中可以作為一個(gè)三棱柱的展開圖的是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn)： 幾何體的展開圖..
分析： 三棱柱展開后，側(cè)面是三個(gè)長(zhǎng)方形，上下底各是一個(gè)三角形.
解答： 解：三棱柱展開后，側(cè)面是三個(gè)長(zhǎng)方形，上下底各是一個(gè)三角形由此可得：
只有A是三棱柱的展開圖.
故選：A
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了三棱柱表面 展開圖，注意上、下兩底面應(yīng)在側(cè)面展開圖長(zhǎng)方形的兩側(cè).
10.(3分)(2015•宜昌)下列運(yùn)算正確的是( )
A. x4+x4=2x8 B. (x2)3=x5 C. (x﹣y)2=x2﹣y2 D. x3•x=x4
考點(diǎn)： 冪的乘方與積的乘方;合并同類項(xiàng);同底數(shù)冪的乘法;完全平方公式..
分析： A：根據(jù)合并同類項(xiàng)的方法判斷即可.
B：根據(jù)冪的乘方的運(yùn)算方法判斷即可.
C：根據(jù)完全平方公式的計(jì)算方法判斷即可.
D：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則判斷即可.
解答： 解：∵x4+x4=2x4，
∴選項(xiàng)A不正確;
∵(x2)3=x6，
∴選項(xiàng)B不正確;
∵(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2，
∴選項(xiàng)C不正確;
∵x3•x=x4，
∴選項(xiàng)D正確.
故選：D.
點(diǎn)評(píng)： (1)此題主要考查了冪的乘方和積的乘方，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①(am)n=amn(m，n是正整數(shù));②(ab)n=anbn(n是正整數(shù)).
(2)此題還考查了同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，要熟練掌 握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①底數(shù)必須相同;②按照運(yùn)算性質(zhì)，只有相乘時(shí)才是底數(shù)不變，指數(shù)相加.
(3)此題還考查了完全平方公式，以及合并同類項(xiàng)的方法，要熟練掌握.
11.(3分)(2015•宜昌)如圖，圓形鐵片與直角三角尺、直尺緊靠在一起平放在桌面上.已知鐵片的圓心為O，三角尺的直角頂點(diǎn)C落在直尺的10cm處，鐵片與直尺的唯一公共點(diǎn)A落在直尺的14cm處，鐵片與三角尺的唯一公共點(diǎn)為B，下列說法錯(cuò)誤的是( )
A. 圓形鐵片的半徑是4cm B. 四邊形AOBC為正方形
C. 弧AB的長(zhǎng)度為4πcm D. 扇形OAB的面積是4πcm2
考點(diǎn)： 切線的性質(zhì);正方形的判定與性質(zhì);弧長(zhǎng)的計(jì)算;扇形面積的計(jì)算..
專題： 應(yīng)用題.
分析： 由BC，AC分別是⊙O的切線，B，A為切點(diǎn)，得到OA⊥CA，OB⊥BC，又∠C=90°，OA=OB，推出四邊形AOBC是正方形，得到OA=AC=4，故A，B正確;根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)、面積的計(jì)算公式求出結(jié)果即可進(jìn)行判斷.
解答： 解：由題意得：BC，AC分別是⊙O的切線，B，A為切點(diǎn)，
∴OA⊥CA，OB⊥BC，
又∵∠C=90°，OA=OB，
∴四邊形AOBC是正方形，
∴OA=AC=4，故A，B正確;
∴ 的長(zhǎng)度為： =2π，故C錯(cuò)誤;
S扇形OAB= =4π，故D正確.
故 選C.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，扇形的弧長(zhǎng)、面積的計(jì)算，熟記計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.
12.(3分)(2015•宜昌)如圖，AB∥CD，F(xiàn)E⊥DB，垂足為E，∠1=50°，則∠2的度數(shù)是 ( )
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
考點(diǎn)： 平行線的性質(zhì)..
分析： 先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠D的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
解答： 解：∵FE⊥DB，
∵∠DEF=90°.
∵∠1=50°，
∴∠D=90°﹣50°=40°.
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°.
故選C.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同位角相等.
13.(3分)(2015•宜昌)兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形ABCD是一個(gè) 箏形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究箏形的性質(zhì)時(shí)，得到如下結(jié)論：
�、貯C⊥BD;②AO=CO= AC;③△ABD≌△CBD，
其中正確的結(jié)論有( )
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)..
專題： 新定義.
分析： 先證明△ABD與△CBD全等，再證明△AOD與△COD全等即可判斷.
解答： 解：在△ABD與△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
故③正確;
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD與△COD中，
，
∴△AOD≌△COD(SAS)，
∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，
∴AC⊥DB，
故①②正確;
故選D
點(diǎn)評(píng)： 此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SSS證明△ABD與△CBD全等和利用SAS證明△AOD與△COD全等.
14.(3分)(2015•宜昌)如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)P，則點(diǎn)P有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
考點(diǎn)： 全等三角形的判定..
分析： 根據(jù)全等三角形的判定得出點(diǎn)P的位置即可.
解答： 解：要使△ABP與△ABC全等，點(diǎn)P到AB的距離應(yīng)該等于點(diǎn)C到AB的距離，即3個(gè)單位長(zhǎng)度，故點(diǎn)P的位置可以是P1，P3，P4三個(gè)，
故選C
點(diǎn)評(píng)： 此題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是利用全等三角形的判定進(jìn)行判定點(diǎn)P的位置.
15.(3分)(2015•宜昌)如圖，市煤氣公司計(jì)劃在地下修建一個(gè)容積為104m3的圓柱形煤氣儲(chǔ)存室，則儲(chǔ)存室的底面積S(單位：m2)與其深度d(單位：m)的函數(shù)圖象大致是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)的應(yīng)用;反比例函數(shù)的圖象..
分析： 根據(jù)儲(chǔ)存室的體積=底面積×高即可列出反比例函數(shù)關(guān)系，從而判定正確的結(jié)論.
解答： 解：由儲(chǔ)存室的體積公式知：104=Sd，
故儲(chǔ)存室的底面積S(m2)與其深度d(m)之間的函數(shù)關(guān)系式為S= (d>0)為反比例函數(shù).
故選：A.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用及反比例函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)自變量的取值范圍確定雙曲線的具體位置，難度不大.
二、解答題(本大題共9小題，計(jì)75分)
16.(6分)(2015•宜昌)計(jì)算：|﹣2|+30﹣(﹣6)×(﹣ ).
考點(diǎn)： 實(shí)數(shù)的運(yùn)算;零指數(shù)冪..
專題： 計(jì)算題.
分析： 原式第一項(xiàng)利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算，第三項(xiàng)利用乘法法則計(jì)算即可得到結(jié)果.
解答： 解：原式=2+1﹣3=0.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
17.(6分)(2015•宜昌)化簡(jiǎn)： + .
考點(diǎn)： 分式的加減法..
分析： 首先約分，然后根據(jù)同分母分式加減法法則，求出算式 + 的值是多少即可.
解答： 解： +
=
=
=
=1.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了分式的加減法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：(1)同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.(2)異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減法.
18.(7分)(2015•宜昌)如圖，一塊余料ABCD，AD∥BC，現(xiàn)進(jìn)行如下操作：以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交BA，BC于點(diǎn)G，H;再分別以點(diǎn)G，H為圓心，大于 GH的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部相交于點(diǎn)O，畫射線BO，交AD于點(diǎn)E.
(1)求證：AB=AE;
(2)若∠A=100°，求∠EBC的度數(shù).
考點(diǎn)： 作圖—基本作圖;等腰三角形的判定與性質(zhì)..
分析： (1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠AEB=∠EBC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠EBC=∠ABE，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案;
(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得∠AEB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得答案.
解答： (1)證明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC.
由BE是∠ABC的角平分線，
∴∠EBC=∠ABE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE;
(2)由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得
∠ABE=∠AEB=40°.
由AD∥BC，得
∠EBC=∠AEB=40°.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了等腰三角形的判定，利用了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定.
19.(7分)(2015•宜昌)901班的全體同學(xué)根據(jù)自己的興趣愛好參加了六個(gè)學(xué)生社團(tuán)(每個(gè)學(xué)生必須參加且只參加一個(gè))，為了了解學(xué)生參加社團(tuán)的情況，學(xué)生會(huì)對(duì)該班參加各個(gè)社團(tuán)的人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制成了如圖不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖，已知參加“讀書社”的學(xué)生有15人，請(qǐng)解答下列問題：
(1)該班的學(xué)生共有 60 名;
(2)若該班參加“吉他社”與“街舞社”的人數(shù)相同，請(qǐng)你計(jì)算，“吉他社”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù);
(3)901班學(xué)生甲、乙、丙是“愛心社”的優(yōu)秀社員，現(xiàn)要從這三名學(xué)生中隨機(jī)選兩名學(xué)生參加“社區(qū)義工”活動(dòng)，請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法求出恰好選中甲和乙的概率.
考點(diǎn)： 列表法與樹狀圖法;扇形統(tǒng)計(jì)圖..
分析： (1)利用參加“讀書社”的學(xué)生數(shù)除以所占比例進(jìn)而求出總?cè)藬?shù);
(2)首先求出參加“吉他社”的學(xué)生在全班學(xué)生中所占比例，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù);
(3)首先畫出樹狀圖，進(jìn)而求出恰好選中甲和乙的概率.
解答： 解：(1)∵參加“讀書社”的學(xué)生有15人，且在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，所占比例為：25%，
∴該班的學(xué)生共有：15÷25%=60(人);
故答案為：60;
(2)參加“吉他社”的學(xué)生在全班學(xué)生中所占比例為：
=10%，
所以，“吉他社”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為：360°×10%=36°;
(3)畫樹狀圖如下：
，
由樹狀圖可知，共有6種可能的情況，其中恰好選中甲和乙的情況有2種，
故P(選中甲和乙)= = .
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖以及樹狀圖法求概率，弄清題意得出正確信息是解本題的關(guān)鍵.
20.(8分)(2015•宜昌)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D為邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合)，過D作DO⊥AB，垂足為O，點(diǎn)B′在邊AB上，且與點(diǎn)B關(guān)于直線DO對(duì)稱，連接DB′，AD.
(1)求證：△DOB∽△ACB;
(2)若AD平分∠CAB，求線段BD的長(zhǎng);
(3)當(dāng)△AB′D為等腰三角形時(shí)，求線段BD的長(zhǎng).
考點(diǎn)： 相似形綜合題..
分析： (1)由∠DOB=∠ACB=90°，∠B=∠B，容易證明△DOB∽△ACB;
(2)先由勾股定理求出AB，由角平分線的性質(zhì)得出DC=DO，再由HL證明Rt△ACD≌Rt△AOD，得出AC=AO，設(shè)BD=x，則DC=DO=8﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可;
(3)根據(jù)題意得出當(dāng)△AB′D為等腰三角形時(shí)，AB′=DB′，由△DOB∽△ACB，得出 = ，設(shè)BD=5x，則AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，由AB′+B′O+BO=AB，得出方程，解方程求出x，即可得出BD.
解答： (1)證明：∵DO⊥AB，
∴∠DOB=∠DOA=90°，
∴∠DOB=∠ACB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△DOB∽△ACB;
(2)解：∵∠ACB=90°，
∴AB= = =10，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，
∴DC=DO，
在Rt△ACD和Rt△AOD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AOD(HL)，
∴AC=AO=6，
設(shè)BD=x，則DC=DO=8﹣x，OB=AB﹣AO=4，
在Rt△BOD中，根據(jù)勾 股定理得：DO2+OB2=BD2，
即(8﹣x)2+42=x2，
解得：x=5，
∴BD的長(zhǎng)為5;
(3)解：∵點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于直線DO對(duì)稱，
∴∠B=∠OB′D，BO=B′O，BD=B′D，
∵∠B為銳角，
∴∠OB′D也為銳角，
∴∠AB′D為鈍角，
∴當(dāng)△AB′D為等腰三角形時(shí)，AB′=DB′，
∵△DOB∽△ACB，
∴ = = ，
設(shè)BD=5x，
則AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，
∵AB′+B′O+BO=AB，
∴5x+4x+4x=10，
解得：x= ，
∴BD= .
點(diǎn)評(píng)： 本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí);本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是(2)(3)中，需要根據(jù)題意列出方程，解方程才能得出結(jié)果.
21.(8分)(2015•宜昌)如圖，已知點(diǎn)A(4，0)，B(0，4 )，把一個(gè)直角三角尺DEF放在△OAB內(nèi)，使其斜邊FD在線段AB上，三角尺可沿著線段AB上下滑動(dòng).其中∠EFD=30°，ED=2，點(diǎn)G為邊FD的中點(diǎn).
(1)求直線AB的解析式;
(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，求經(jīng)過點(diǎn)G的反比例函數(shù)y= (k≠0)的解析式;
(3)在三角尺滑動(dòng)的過程中，經(jīng)過點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象能否同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)F?如果能，求出此時(shí)反比例函數(shù)的解析式;如果不能，說明理由.
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題..
分析： (1)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入，組成方程組，解方程組求出k、b的值即可;
(2)由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出點(diǎn)D坐標(biāo)，得出點(diǎn)F、G坐標(biāo)，把點(diǎn)G坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求出k即可;
(3)設(shè)F(t，﹣ t+4 )，得出D、G坐標(biāo)，設(shè)過點(diǎn)G和F的反比例函數(shù)解析式為y= ，用待定系數(shù)法求出t、m，即可得出反比例函數(shù)解析式.
解答： 解：(1)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∵A(4，0)，B(0，4 )，
∴ ，
解得： ，
∴直線AB的解析式為：y=﹣ x+4 ;
(2)∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，
∴EF=2 ，DF=4，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，
∴D(4，0)，
∴F(2，2 )，
∴G(3， )，
∵反比例函數(shù)y= 經(jīng)過點(diǎn)G，
∴k=3 ，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y= ;
(3)經(jīng)過點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象能同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)F;理由如下：
∵點(diǎn)F在直線AB上，
∴設(shè)F(t，﹣ t+4 )，
又∵ED=2，
∴D(t+2，﹣ t+2 )，
∵點(diǎn)G為邊FD的中點(diǎn).
∴G(t+1，﹣ t+3 )，
若過點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過點(diǎn)F，
設(shè)解析式為y= ，
則 ，
整理得：(﹣ t+3 )(t+1)=(﹣ t+4 )t，
解得：t= ，
∴m= ，
∴經(jīng)過點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象能同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)F，這個(gè)反比例函數(shù)解析式為：y= .
點(diǎn)評(píng)： 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、求反比例函數(shù)的解析式、坐標(biāo)與圖形特征、解直角三角形、解方程組等知識(shí);本題難度較大，綜合性強(qiáng)，用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式是解決問題的關(guān)鍵.
22.(10分)(2015•宜昌)全民健身和醫(yī)療保健是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，2014年，某社區(qū)共投入30萬元用于購(gòu)買健身器材和藥品.
(1)若2014年社區(qū)購(gòu)買健身器材的費(fèi)用不超過總投入的 ，問2014年最低投入多少萬元購(gòu)買藥品?
(2)2015年，該社區(qū)購(gòu)買健身器材的費(fèi)用比上一年增加50%，購(gòu)買藥品的費(fèi)用比上一年減少 ，但社區(qū)在這兩方面的總投入仍與2014年相同.
①求2014年社區(qū)購(gòu)買藥品的總費(fèi)用;
�、趽�(jù)統(tǒng)計(jì)，2014年該社區(qū)積極健身的家庭達(dá)到200戶，社區(qū)用于這些家庭的藥品費(fèi)用明顯減少，只占當(dāng)年購(gòu)買藥品總費(fèi)用的 ，與2014年相比，如果2015年社區(qū)內(nèi)健身家庭戶數(shù)增加的百分比與平均每戶健身家庭的藥品費(fèi)用降低的百分比相同，那么，2015年該社區(qū)用于健身家庭的藥品費(fèi)用就是當(dāng)年購(gòu)買健身器材費(fèi)用的 ，求2015年該社區(qū)健身家庭的戶數(shù).
考點(diǎn)： 一元二次方程的應(yīng)用;二元一次方程組的應(yīng)用;一元一次不等式的應(yīng)用..
專題： 應(yīng)用題.
分析： (1)設(shè)2014年購(gòu)買藥品的費(fèi)用為x萬元，根據(jù)購(gòu)買健身器材的費(fèi)用不超過總投入的 ，列出不等式，求出不等式的解集即可得到結(jié)果;
(2)①設(shè)2014年社區(qū)購(gòu)買藥品的費(fèi)用為y萬元，則購(gòu)買健身器材的費(fèi)用為(30﹣y)萬元，2015年購(gòu)買健身器材的費(fèi)用為(1+50%)(30﹣y)萬元，購(gòu)買藥品的費(fèi)用為(1﹣ )y萬元，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解得到y(tǒng)的值，即可得到結(jié)果;
�、谠O(shè)這個(gè)相同的百分?jǐn)?shù)為m，則2015年健身家庭的藥品費(fèi)用為200(1+m)，根據(jù)2015年該社區(qū)用于健身家庭的藥品費(fèi)用就是當(dāng)年購(gòu)買健身器材費(fèi)用的 ，列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果.
解答： 解：(1)設(shè)2014年購(gòu)買藥品的費(fèi)用為x萬元，
根據(jù)題意得：30﹣x≤ ×30，
解得：x≥10，
則2014年最低投入10萬元購(gòu)買商品;
(2)①設(shè)2014年社區(qū)購(gòu)買藥品的費(fèi)用為y萬元，則購(gòu)買健身器材的費(fèi)用為(30﹣y)萬元，
2015年購(gòu)買健身器材的費(fèi)用為(1+50%)(30﹣y)萬元，購(gòu)買藥品的費(fèi)用為(1﹣ )y萬元，
根據(jù)題意得：(1+50%)(30﹣y)+(1﹣ )y=30，
解得：y=16，30﹣y=14，
則2014年購(gòu)買藥品的總費(fèi)用為16萬元;
�、谠O(shè)這個(gè)相同的百分?jǐn)?shù)為m，則2015年健身家庭的藥品費(fèi)用為200(1+m)，
2015年平均每戶健身家庭的藥品費(fèi)用為 (1﹣m)萬元，
依題意得：200(1+m)• (1﹣m )=(1+50%)×14× ，
解得：m=± ，
∵m>0，∴m= =50%，
∴200(1+m)=300(戶)，
則2015年該社區(qū)健身家庭的戶數(shù)為300戶.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，以及一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
23.(11分)(2015•宜昌)如圖，四邊形ABCD為菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)是邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EF，以EF為直徑作⊙O，交DC于D，G兩點(diǎn)，AD分別于EF，GF交于I，H兩點(diǎn).
(1)求∠FDE的度數(shù);
(2)試判斷四邊形FACD的形狀，并證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)G為線段DC的中點(diǎn)時(shí)，
①求證：FD=FI;
�、谠O(shè)AC=2m，BD=2n，求⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比 .
考點(diǎn)： 圓的綜合題;等腰三角形的判定;直角三角形斜邊上的中線;勾股定理;三角形中位線定理;平行四邊形的判定與性質(zhì);菱形的性質(zhì)..
專題： 綜合題.
分析： (1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角即可得到∠FDE=90°;
(2)由四邊形ABCD是菱形可得AB∥CD，要證四邊形FACD是平行四邊形，只需證明DF∥AC，只需證明∠AEB=∠FDE，由于∠FDE=90°，只需證明∠AEB=90°，根據(jù)四邊形ABCD是菱形即可得到結(jié)論;
(3)①連接GE，如圖，易證GE是△ACD的中位線，即可得到GE∥DA，即可得到∠FHI=∠FGE=∠FGE=90°.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DG=GE，從而有 = ，根據(jù)圓周角定理可得∠1=∠2，根據(jù)等角的余角相等可得∠3=∠4，根據(jù)等角對(duì)等邊可得FD=DI;②易知S⊙O=π( )2= πm2，S菱形ABCD= •2m•2n=2mn，要求⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比，只需得到m與n的關(guān)系，易證EI=EA=m，DF=AC=2m，EF=FI+IE=DF+AE=3m，在Rt△DEF中運(yùn)用勾股定理即可解決問題.
解答： 解：(1)∵EF是⊙O的直徑，∴∠FDE=90°;
(2)四邊形FACD是平行四邊形.
理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠AEB=90°.
又∵∠FDE=90°，
∴∠AEB=∠FDE，
∴AC∥DF，
∴四邊形FACD是平行四邊形;
(3)①連接GE，如圖.
∵四邊形ABCD是菱形，∴點(diǎn)E為AC中點(diǎn).
∵G為線段DC的中點(diǎn)，∴GE∥DA，
∴∠FHI=∠FGE.
∵EF是⊙O的直徑，∴∠FGE=90°，
∴∠FHI=90°.
∵∠DEC=∠AEB=90°，G為線段DC的中點(diǎn)，
∴DG= GE，
∴ = ，
∴∠1=∠2.
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∴FD=FI;
�、凇逜C∥DF，∴∠3=∠6.
∵∠4=∠5，∠3=∠4，
∴∠5=∠6，∴EI=EA.
∵四邊形ABCD是菱形，四邊形FACD是平行四邊形，
∴DE= BD=n，AE= AC=m，F(xiàn)D=AC=2m，
∴EF=FI+IE=FD+AE=3m.
在Rt△EDF中，根據(jù)勾股定理可得：
n2+(2m)2=(3m)2，
即n= m，
∴S⊙O=π( )2= πm2，S菱形ABCD= •2m•2n=2mn=2 m2，
∴S⊙O：S菱形ABCD= .
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了菱形的性質(zhì)、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形中位線定理、等角的余角相等、等角 對(duì)等邊、平行線的性質(zhì)、勾股定理、圓及菱形的面積公式等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，證到IE=EA，進(jìn)而得到EF=3m是解決第3(2)小題的關(guān)鍵.
24.(12分)(2015•宜昌)如圖1，B(2m，0)，C(3m，0)是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)，其中m為常數(shù)，且m>0，E(0，n)為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，以BC為邊在x軸上方作矩形ABCD，使AB=2BC，畫射線OA，把△ADC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A′D′C′，連接ED′，拋物線y=ax2+bx+n(a≠0)過E，A′兩點(diǎn).
(1)填空：∠AOB= 45 °，用m表示點(diǎn)A′的坐標(biāo)：A′( m ， ﹣m );
(2)當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為A′，拋物線與線段AB交于點(diǎn)P，且 = 時(shí)，△D′OE與△ABC是否相似?說明理由;
(3)若E與原點(diǎn)O重合，拋物線與射線OA的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)M，過M作MN⊥y軸，垂足為N：
①求a，b，m滿足的關(guān)系式;
②當(dāng)m為定值，拋物線與四邊形ABCD有公共點(diǎn)，線段MN的最大值為10，請(qǐng)你探究a的取值范圍.
考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題..
專題： 綜合題.
分析： (1)由B與C的坐標(biāo)求出OB與OC的長(zhǎng)，根據(jù)OC﹣OB表示出BC的長(zhǎng)，由題意AB=2BC，表示出AB，得到AB=OB，即三角形AOB為等腰直角三角形，即可求出所求角的度數(shù);由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OD′=D′A′=m，即可確定出A′坐標(biāo);
(2)△D′OE∽△ABC，理由如下：根據(jù)題意表示出A與B的坐標(biāo)，由 = ，表示出P坐標(biāo)，由拋物線的頂點(diǎn)為A′，表示出拋物線解析式，把點(diǎn)E坐標(biāo)代入整理得到m與n的關(guān)系式，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似即可得證;
(3)①當(dāng)E與原點(diǎn)重合時(shí)，把A與E坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c，整理即可得到a，b，m的關(guān)系式;
�、趻佄锞�與四邊形ABCD有公共點(diǎn)，可得出拋物線過點(diǎn)C時(shí)的開口最大，過點(diǎn)A時(shí)的開口最小，分兩種情況考慮：若拋物線過點(diǎn)C(3m，0)，此時(shí)MN的最大值為10，求出此時(shí)a的值;若拋物線過點(diǎn)A(2m，2m)，求出此時(shí)a的值，即可確定出拋物線與四邊形ABCD有公共點(diǎn)時(shí)a的范圍.
解答： 解：(1)∵B(2m，0)，C(3m，0)，
∴OB=2m，OC=3m，即BC=m，
∵AB=2BC，
∴AB=2m=0B，
∵∠ABO=90°，
∴△ABO為等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OD′=D′A′=m，即A′(m，﹣m);
故答案為：45;m，﹣m;
(2)△D′OE∽△ABC，理由如下：
由已知得：A(2m，2m)，B(2m，0)，
∵ = ，
∴P(2m， m)，
∵A′為拋物線的頂點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣m)2﹣m，
∵拋物線過點(diǎn)E(0，n)，
∴n=a(0﹣m)2﹣m，即m=2n，
∴OE：OD′=BC：AB=1：2，
∵∠EOD′=∠ABC=90°，
∴△D′OE∽△ABC;
(3)①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，E(0，0)，
∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)E，A，
∴ ，
整理得：am+b=﹣1，即b=﹣1﹣am;
�、凇邟佄锞�與四邊形ABCD有公共點(diǎn)，
∴拋物線過點(diǎn)C時(shí)的開口最大，過點(diǎn)A時(shí)的開口最小，
若拋物線過點(diǎn)C(3m，0)，此時(shí)MN的最大值為10，
∴a(3m)2﹣(1+am)•3m=0，
整理得：am= ，即拋物線解析式為y= x2﹣ x，
由A(2m，2m)，可得直線OA解析式為y=x，
聯(lián)立拋物線與直線OA解析式得： ，
解得：x=5m，y=5m，即M(5m，5m)，
令5m=10，即m=2，
當(dāng)m=2時(shí)，a= ;
若拋物線過點(diǎn)A(2m，2m)，則a(2m)2﹣(1+am)•2m=2m，
解得：am=2，
∵m=2，
∴a=1，
則拋物線與四邊形ABCD有公共點(diǎn)時(shí)a的范圍為 ≤a≤1.
點(diǎn)評(píng)： 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直線與拋物線的交點(diǎn)，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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